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题目：在 上的函数 ，且 不是常数，求证 在 的圆周上取得最大值。
Part One：题目由来
阅读这道题需要一小部分的复变基础(基本的求导求积分以及开映射定理) 之前的推文中我们证明了单位圆盘上调和函数的最大值只能够在圆周上取到，证明方法不超过数分，但是步骤比较繁琐。但是我们如果利用复变中的一些知识，就可以很容易的得到证明。【公式不全可以左右滑动，仅在qq或微信自带浏览器可显示】
Part Two：题目证法
引理： 是在单位圆盘的实函数，且 且在 上满足，求证：存在一个 上的全纯函数 ，满足 。
证明：令
从而 ( 为常数)
令 ，则 ，得证
由引理知在 ，且
假设 在 处取得最大值 且 不在圆周上。
令 。由开映射定理知 将 映成开集 ，可知存在 ，使得 ，
从而 ，又 ，矛盾， 所以 最大值只能在圆周上取得
（最小值同样可以证明）
Part Three：另解
下面我们来看如何利用数分的知识证明，先证引理：
引理(Mean-Value Property)
设 是 中的开集， 是定义在 上的实函数，且满足 和 ，假设中心为 半径为 的闭圆盘 。那么有 成立。
证明：设
又 ，可知
设
可得
又 以 为周期。
从而 ，
令 知
从而
得证。下证 最大值只能在圆周取得：
假设 在 中取最大值，又
从而 在一个小圆盘上都等于
推知 在 上都等于
这与 不为常值函数矛盾
最大值只能在圆周取得
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