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8阶群的分类
题目：试确定所有的8阶群
.
(1)若 是Abel群， 利用不变因子法对 分类 知不变因子有三种情况
即8阶阿贝尔群有3种 .
(2)若 不是Abel群 由Lagrange定理知， 中元素阶数为
下证 中必存在4阶元
首先易知 中不存在8阶元，否则 ,矛盾
假设 中所有元素阶数为2.
为Abel群，矛盾.
从而 中必存在4阶元 .
,又
,取 , 则 由 生成
且 令
由于 的阶为2或4, 的阶为1或2
如果 ，由于 为正规子群
因为 的阶等于a的阶
若
而G为Abel群，矛盾，从而知
于是
于是
于是
下证 不同构.
从而易知 不同构
综上,8阶群有5种 (Abel)
(非Abel)
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