复旦大学的实变函数的作业选解

题目

1.设 上的有限函数，证明 在 上的连续点是Borel集.

2.设 是 上的连续函数， 时， 时

(1) 时，

解答

证

记

若 ，则存在 满足上述条件，则对任意 ，则可以取

就也有 ，因此 为开集。 取 为 的连续点全体，下证 .

: 对任意 存在， 因此对任意的 ，存在 ，使 得 ，有

：若 属于所有的 ，则对任意的 ,取 ，则存在 ，任 意 ，有

证

(1)由于

而 在 上可积，因此根据控制收敛定理，

(2)首先证明 的情形，令 ，则因此

因此 时，

因此

而 时， 有正的下界，记为 ，则

根据以上两式，先令 ，再令 即可。

(3)类似(2)，只需先考虑 的情形即可，令 ，则

而

并且 时，

因此 ，证毕。

思考题

1.设 ，对于 中任意两个正测度的可测子 集 和 ，是否总能找到 ，使得:

2.证明Cantor引理： 是一个正测度可测集，若 对任意 成立，则 的极限都是 .

3.证明存在 上的一列连续函数 ，使得形式级数 在不打乱顺序，但可以加入括号分段求和的情况下几乎处处收敛到任意给定的可测函数.

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