一道非数竞赛里面的数分题

Part Zero：题目

设 为单调递减的正实数列， ， 为一实数列，级数 收敛，证明：

Part One：题目来源

这道题目来源于第十届全国大学生数学竞赛非数类决赛的最后一题，这道题是一个和级数相关的数分问题。所以由此可见，想在非数类的竞赛中获得较好的成绩，必须对数分高代有所掌握。

Part Two：一点插曲

当时非数类考试的前一天晚上，和我一起去参加决赛的科大的两个朋友复习史济怀的<<数学分析教程>>，他们恰好就看到了第二天考试的这道级数原题（问题14.4的第6题），可惜书上的答案写的太过简洁，他们并没有看懂。所以第二天他们在考场上也没能完整的把这题全部做出来。如果当时答案写得更加详细一点，那么他们的最后成绩可能会更加好一点，甚至有希望进入前三名。

Part Three：题目解答

收敛，所以对任意给定 ，存在自然数 ，使得 时，有 。因为 单调递减的正数列，所以

注意到当 时，有

令得到

下面证明：对于任意自然数 ，如果 满足

则有

事实上， ，即得到

令 可以得到

即 。又由 知，存在自然数 ，使得 时有

取 ，则当 时，有

因此

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