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今天带来的是2018年清华大学数分Ⅲ的期末考试题并给出部分题的证明，可以看出这些题目是蛮有特色的。【公式不全可以左右滑动，仅在qq或微信自带浏览器可显示】
问题
-
试叙述关于函数项级数一致收敛性的 Abel 和 Dirichlet 判别法. -
设幂级数 的收敛半径为 试利用上述判别法证明如果此幂级数在 处收敛则其和函数 在 处左连续. -
试利用 在 处的幂级数展开求如下级数的和, 并说明理由:
-
设数项级数 以及它们的 Cauchy 乘积 分别收敛到 试利用上述第 2 小题的结论证明 -
设定义在 上的函数 在 处解析, 即 在 的某一邻域
上可以展开为幂级数
并且假定 试利用上述小题的结论证明 在 附近有定义且在 处解析;
证明
4.
幂级数 在 处收敛, 则在 (-1,1) 上绝 对收敛. 令
对任意 | 成立. 又 收敛, 故由 Abel 第二定理知
5.
不妨设 设幂级数 满足
比较系数可得
设 收敛半径为 由于
故可取适当的 使得 由 的表达式可知 那么
故 在 上绝对收敛, 且
压轴
对 R上的绝对可积函数 g，定义其 Fourier 变换 为
(1) 设 试计算其 Fourier 变换
(2) 对任一 R 上的有界连续且绝对可积函数 证明成立等式
其中
（提示: 用 的原始定义不需用第 1 小题的计算结果）
(3) 试利用上述结论证明，如果 也是 上的有界连续且绝对可积函数, 则有等式
(3)
令
由于 收敛，所以 关于 一致收敛.
又对任意的 在 上一致收敛，故 当 时， 对 一致地收敛到 所以
利用上一小題的结论，只需证明
首先， 是一簇好的核，这是因为
并且对任一
又 为连续函数，因此
从而完成证明。
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