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著名的Jensen不等式被用于证明许多重要不等式，如平均值不等式，Minkowski不等式等.在处理一些复杂的定积分不等式时，Jensen不等式的积分形式同样能发挥其独到的作用，它能轻易地解决某些难度很高的不等式证明问题.
定理1（Jensen 不等式）
设 在 上连续 为 上的可微凹函数 则：
易知，上述积分不等式当 时依然成立.若把积分区间 改成 ,则结论成为
当 改为凸函数时，不等式方向改变. 让我们来证明这个定理的更一般形式：
定理 2
设 在 上连续, 为 上的可微凹函数 则
证明 由连续函数的积分中值定理,设
即
证毕
Hölder 不等式
作为定理 2 的一个应用，我们来证明著名的 Hölder 不等式：
这里, 在 可积 , 且 事实上，由于幂函数 为凹函数，由定理2立得
而上式左边为
右边为
两边同乘以 并开 次方 即可得证。
再来看一道例题：
设 在 上有二阶导数，且在 上有 求证:
证明：由于 ，则对于任意 则有:
所以再令 有:
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