北京大学数学科学学院高等代数(II) 期末

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今天带来的是北京大学数学科学学院高等代数(II) 期末考试题，并给出了部分解答。【公式不全可以左右滑动，仅在qq或微信自带浏览器可显示】

题目

一. 给定有理数域 上的多项式

1. 证明 为 z 中的不可约多项式.

2. 设 是 在复数域 内的一个根. 定义

证明：对于任意的 有

3. 接上题. 证明: 若 则存在 使得

4. 找出 的一个 sturm 序列. 判断 有几个实根.

5. 求下面三阶方阵在有理数域 Q 上的最小多项式:

二.  在欧氏空间 内求下列齐次线性方程组

的解空间的正交补空间的一组标准正交基.

三. 给定数域 K 上的多项式 设 在复数域 内的三 个根是 求 上的首一三次多项式 它以 为三个根.

四.  设 是 维酉空间 内的一个 Hermite 变换.

1. 证明 可逆，这里 为虚单位.
2. 证明

   为酉变换.

五.  设 是 维酉空间 内的一个线性变换. 如果 的特征向量都是 的特征向量，证明 是正规变换.

六. 证明在 维欧氏空间 中两两夹钝角(即夹角大于 ) 的向量不能多于 个.

七. 考察复数域上全体 阶方阵所成的集合 它关于矩阵的加法及实数与矩阵的数乘组成实数域 上的线性空间. 设 为其子空间, 且满足:

(i) 若 则

(ii) 若 则 可逆, 且

1. 证明: 任给 则 或 这里 且
2. 令

   证明 是 的子空间

解答

四

1. 因为 Hermite 变换的特征值为实数，故对于任一 都有 即

2. 因 和 均可逆，而

   故

于是

由此得

六.

对 作数学归纳法. 时结论显然成立. 设对 维欧氏空间结论成立. 当 时，若 内有 个向量

两两夹钝角，于是

因 故 又当 时,

而

七.

1. 若 结论显然成立. 下面设 取 则 于 是

   考虑 由于 故有

其中

其中

因

令 即为所求.

2. 将 看作 上的 维线性空间，定义映射

其中 为 的迹. 显然是 -线性映射.

(i) 若 且 则 的最小多项式为 无重根，故 在 C 内相似于对角矩阵，主对角线上的元素为 土 为纯虚数. 于是 为纯虚数 (注意：相似矩阵的迹相同).

(ii) 反之，设 且 为纯虚数. 若 显然 否则

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