用好函数去逼近坏函数

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实变函数这门课碰到的函数都是性质很差的（仅仅是可测或者勒贝格可积函数），但它教会你最重要的一点就是“如何用好函数去逼近坏函数”，接下来我们来看道例题（公式不全可左右滑动）

设 为 上可积函数， 试 证：对

1. 存在有界可测函数 使

2. 存在全空间上的连续函数 使得

3. 若 则存在 上的多项式函数 ，使

1.

令 , 则

且 ，由于 是 上的可积函数 故

由于 ，故对上述的 ，存在自然数 ，使 从而

由于 时 ， ,故

即 为满足条件的可测函数

2.

记

从而，对上述 ，存在 ， 使 于是

从而

根据Lusin定理，存在 上的连续函数 ，使

从而

3.

若 由于 在 上可积，由 2. 知,对 ，存在 上的连续函数 ， 使

再由维尔斯特拉斯定理知，对任一 上的连续函数 及 存在多项式 ，使得对一切 成立如下不等式：

从而

即 是满足条件的多项式函数.

最后来证明一下Lebesgue积分也具有介值性，这个在课后题就出现过：

设 是 中的可测集， 并且

提示： 我们令

再利用连续函数介值性即可

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