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题目
设 是 阶幂零矩阵, 即满足 证明: 若 的秩为 且 则存在 阶可逆矩阵 使得 其中 为 阶单位矩阵。
题目解答
存在 阶可逆矩阵 使得 因为 所以
对 作相应分块为 则有
因此, 而
所以
则有
方法分析
这道题目运用了分块矩阵的技巧，我在丘维声的《高等代数》中见到了一道相似的题目（题目解答方法相似），在此也一并分享出来
感想
从这道题可以看见决赛中的线性代数的题目或多或少都会有些高等代数的影子。更加值得一提的是，第十届非数类数学竞赛的决赛填空题第五题的一道线性代数题目，同样也能在丘维声的《高等代数》上找到原题。
由此观之，想要在决赛中取得较好的成绩，必须争取把线性代数的题目都做出来。从而学习高等代数是十分必要的。在这里我首先推荐的就是丘维声老师的《高等代数》，毕竟第十届竞赛的题目就是出自这本书嘛！在公众号内回复：高等代数，即可获得丘维声老师的《高等代数》上下册pdf版本，相信这本书一定会帮你学好线性代数！
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