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为了控制重力荷载产生的二阶效应不致过大，以免引起结构的失稳和倒塌，我们要控制刚重比，那刚重比公式是怎么得来的呢？今天我们以混凝土结构为例，简单推导一下。
图1 某柱受力及变形
如图1所示单层柱结构，柱高为h，柱顶总竖向荷载为G，柱顶水平力为F，在水平力F作用下，柱顶产生水平位移Δ0。水平侧移Δ0产生后，柱顶总竖向荷载G对此柱产生附加弯矩G*Δ0,此弯矩可等效为柱顶附加水平力F1=G*Δ0/h，此附加水平力F1又会产生新的水平位移Δ1，在弹性分析时，假定此柱的水平力与水平位移为线性关系，也即此柱的侧移刚度D=F/Δ0为定值，则F1引起的水平位移与F引起的水平位移也呈线性关系，可得
Δ1=(F1/F)*Δ0=（G*Δ0/(h*F)）*Δ0=G*Δ0/(D*h)=(G/(Dh))*Δ0。
Δ1也会产生新的附加水平力F2=G*Δ1/h，由F2产生的新水平位移Δ2=(F2/F)*Δ0=（G*Δ1/(h*F)）*Δ0=（G*G*Δ0/(D*h*h*F)）=(G/(D*h))2*Δ0，以此类推，可得出此柱总位移为Δ=Δ0+Δ1+Δ2+...=Δ0*(1+(G/(D*h))+(G/(D*h))2+...)=Δ0*/(1-G/(D*h))
则由于二阶效应产生的最终水平位移Δ对原始水平位移Δ0有放大，此放大系数B=Δ/Δ0=1/(1-G/(Dh))
对于n层柱，其中第i层柱顶位移放大系数
这就是《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ 3-2010（以下简称《高规》）5.4.3-1公式的由来。
当上式分母为0时，Bi为无穷大，也就是达到失稳状态，可得出i层柱达到失稳状态的临界柱顶荷载为：
则二阶效应放大系数
，
定义线性屈曲因子λcr为屈曲荷载与设计荷载之比值
《钢结构设计标准 GB 50017-2017》第5.1.6条，定义ηcr为整体结构最低阶弹性临界荷载与荷载设计值的比值，这里的ηcr也就是上面所述的线性屈曲因子λcr。
根据《高规》第5.4.1条规定，当结构按弹性分析的二阶效应对结构内力、位移的增量控制在5％左右，重力二阶效应的影响相对较小，可忽略不计。也就是当Bi≤1.05时，可不考虑重力二阶效应的不利影响，带入上面Bi公式可得，
也就是《高规》公式5.4.1-2的由来。
当Bi=1/(1-1/λcr)≤1.05,也就是控制线性屈曲因子λcr≥20时,可不考虑重力二阶效应的不利影响，所以广东省标准《高层建筑混凝土结构技术规程》DBJ/T 15-92-2021第5.4.2条规定，采用特征值法计算的屈曲因子λ小于20时，结构的内力和位移计算应考虑重力二阶效应的影响。
《高规》5.4.4条规定，当结构按弹性分析的二阶效应对结构内力、位移的增量控制在10％以内时，在考虑结构弹性刚度折减50％的情况下，重力P—△效应仍可控制在20％之内，结构的稳定具有适宜的安全储备。若结构的刚重比进一步减小，则重力P—△效应将会呈非线性关系急剧增长，直至引起结构的整体失稳。所以，要控制Bi≤1.1，带入上面Bi公式可得刚重比的限制条件：
也就是《高规》公式5.4.4-2的由来。
要控制Bi=1/(1-1/λcr)≤1.1,也就是控制λcr≥10,所以一般混凝土结构要控制线性屈曲因子λcr≥10。
框架结构在水平荷载作用下呈现的是剪切型变形，结构失稳往往是整体楼层的失稳，显现出整个楼层的屈曲，所以上面我们取框架楼层为对象进行分析。而对于对剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体结构等弯曲型结构，是全楼整体弯曲，我们假定全楼为一个悬臂构件去分析。
图2 竖向悬臂构件
图2所示，将全楼假定为总高为H的竖向悬臂构件，其计算长度为2H，EJd为弹性等效侧向刚度，由欧拉公式可得作用在楼顶的总临界荷载
对于对剪力墙结构、框架-剪力墙结构、筒体等结构，假定其重力荷载 是沿竖向由嵌固端到楼顶是均匀分布的，当考虑稳定分析时，竖向均匀分布的临界重力荷载Gcr=
，相当于作用在楼顶的(1/3)*Gcr，可得Pcr=(1/3)*Gcr,可得：
同理，当Bi≤1.05时，可不考虑重力二阶效应的不利影响，可得
也就是《高规》公式5.4.4-1的由来。
勘察设计大师、规范主编
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