本文描述Fluent中使用的双温度模型（two-temperature model）的基础理论。双温度模型常用于高超声速计算。

注：本文内容译自Fluent Theory Guide 5.2.3。

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当使用密度基求解器时，可以使用双温度模型（two-temperature model）模拟高超声速流动中的热量不平衡现象。其模拟了流动中的能量松弛过程，并提供了比单温度模型更好的流场预测。

热量不平衡的程度通常由Damkohler数来衡量，该数表示为流体微元沿特征长度行进的特征时间与能量模式达到平衡的特征时间的比率。当流速较低时，Damkohler数远大于1，这意味着分子碰撞次数足以使流动达到局部热力学平衡状态。而对于高超声速流动，Damkohler数与1处于同一量级，这表明流体微元没有在一个位置停留足够长的时间来使局部热力学状态达到平衡，此时流动处于热非平衡状态。

为了正确地处理这种影响，有必要使用双温度模型，该模型假定：组分的平移和旋转能量模式在一个温度下处于平衡状态；组分的振动和电子能量模式在另一个温度下处于平衡状态。该模型求解一个守恒方程组，包括Navier-Stokes方程及另外一个模拟振动电子能量守恒的输运方程。

1 能量方程

利用双温度模型，导出了振动电子能量的控制方程^[1]：

式中， 为单位质量的振动电子能量。该方程与密度基求解器中的Navier-Stokes方程分开求解。

由于双温度模型分别引入 和 作为电子平动旋转温度和振动温度，因此将原始能量方程中的热流项调整为：

用于模拟组分扩散引起的振动电子能量变化。 为组分 的扩散通量，其定义为：

方程源项 模拟平动模式和振动模式之间的弛豫。弛豫源项采用Landau-Teller理论：

式中， 为组分振动能； 为Millikan和White曲线拟合的弛豫时间和Park校正^[2]。

对于三原子分子，这种方法假设平动和振动模式之间的能量转移由最快的弛豫时间决定，其对应于最低的特征振动温度。

其中：

源项 模拟了化学反应引起的振动电子能量变化。采用非优先模型，假设分子在平均振动能级上产生或破坏。

式中 为组分 由于化学反应而产生的净源项。

2 比热容

启用双温度模型后，可以选择使用nasa-9分段多项式或波尔兹曼动力学理论计算比热容。

2.1 NASA-9-piecewise-Polynomial函数

用于建立热力学关系模型的默认方法是nasa-9分段多项式^[3]，其将比热容定义为关于温度的分段多项式函数。

该模型只在热力学平衡（ ）时有效。然而，假设平动和转动能量模式被完全激发，振动和电子比热可以从上式计算。而平移比热和旋转比热可以假定为常数。

式中 为组分s的气体常数。由于 独立于温度，则比热可以写为：

将 代入式(10)并与式(12)进行比较，振动比热和电子比热可以表示为：

2.2 Boltzmann能量分布理论

根据统计力学，内能可以存储为平动、转动、振动和电子模式。组分的内能为：

式中 为组分内能； 分别为组分平移、旋转、振动及电子能量。 为组分的形成热。采用刚性转子谐振子近似来计算能量模式。

振动模式的数量取决于分子中原子的数量。双原子分子包含一个振动模式，而三原子分子可以包含三个或四个振动模式。

为了考虑多个振动模式，振动能量定义为：

式中 及 分别为振动模式 及组分 的特征振动温度与简并度。

3 粘度

采用Blottner曲线拟合组分的粘度：

4 热导率

Eucken关系用于计算平移旋转和振动电子对组分热导率的贡献：

5 扩散率

为了模拟扩散系数 ，采用了一个恒定的刘易斯数假设。

式中， 为Lewis数，默认值为1.4； 为平移旋转导热系数； 为恒压下的平动旋转比热。

6 模型局限性

模型具有一些局限性：

• 仅用于密度基求解器
• 不支持离子、电子和电离反应。当前版本不包含适用于电离流的输运特性方法、状态方程或弛豫模型
• 不支持非零表面热通量
• boltzmann动力学理论方法未对电子能量模式进行建模
• Fluent材料数据库中提供了Blottner方法的系数和特征振动温度的介质仅包括Air、N2、O2、NO、N、O及Ar，若想要模拟其他组分，则需要提供相应的数据
• 双温度模型可以与Gupta反应模型一起使用，但材料属性计算中不包括电离的完整计算

参考文献

（完）

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