从凯利公式观交易资金管理

经典的交易书籍《以交易为生》中，作者Alexander Elder 认为，交易的成败取决于 三个方面——策略、资金管理、心理，此后很多交易类的书籍都是围绕这三个方面或者其中一 个方面进行展开。交易大师们普遍的观点是，初级的交易者重点关注交易策略开发，而成熟的交易者，会更加关注资金管理的运用。

资金管理可以分为三个方面:止损止盈、仓位控制和盘中加仓减仓

   交易的资金管理方法分为两种：Martingale方法和Anti-martingale方法。Martingale 方法，典型的做法是“逢输加倍”，在输掉一次以后就将筹码加倍，从理论上推断，有人觉得输多次之后赢的概率会增大，即便不成立，只要赌足够多次，这种方法会产生正的收益预期。学者指出，随机事件的预期值不会因已产生的结果而改变，同时 Martingale 策略也不能改变你的总收益预期,反而造成了加速亏损的风险。与之相反，另一种方法是Anti-martingale，简单理解，就是在盈利的时候增加投资的头寸， 常见的方法包括固定资金比例、波动性ATR比例、最大回撤比例Vince公式和Kelly公式等。

一、从赌局看资金管理

为了方便理解,我们先看一个简单的赌局:假设本金C元,若下注1元,赢了可以赚1元,输了就亏1元，赢的概率是p。那么

如果p<1,期望值为负，赌局不应该参与。

如果 0.5<p<1,期望值为正，赌局可以参与，但有另外一个问题，每次以多少的资金比例参与赌局?

   做个随机实验，假设初始资金C=100元，胜率p=60%。按照60%、30%、20%、10%、2%的比例持续下注，随机生成100次模拟结果，观测资金总量的变动。

通过实验结果显示，其他变量相同的情况下，投注比例的变动对于资金曲线有着非常明显的影响。

这是交易系统中资金管理一个关键问题,以多少比例的资金投入交易?也就是仓位控制问前文阐述，总体上可以分成 Martingale 和 Anti-Martingale 两大类。

显然，只要p<1，就不应该满仓参与赌局，那么 20%是如何计算出来，是否还有更优的比例?这是本文要探讨的问题。

在单边的期货交易策略中，资金管理的问题和赌局非常类似，都是由胜率和盈亏比来决定长期的收益。

二、Kelly 公式来源

关于 Kelly 公式的背景,《财富公式:玩转拉斯维加斯和华尔街的故事》这本书有着非常详细有趣的介绍。但书上并没有介绍公式的理论和推导。

Kelly 公式的发明者是美国着名物理学家 J.L.Kelly，他在 1956 年的 论文《A NewIntepretation of Imformation Rate》最早提出来 Kelly 公式，并认为是在赌博中可以运用的资金管理公式，追求最大收益的同时把破产风险降到零。后来的学者，将该思想移植到很多跟赌博类似的领域，包括期货和股票投资，因为投资者也是在追求最大收益，同时希望把破产的风险降低到零。

Kelly 公式还有两位坚实的支持者,E.0.Thorp和C.E.Shannon。两位鼎鼎有名的科学家,传说他们两人 60 年代曾经利用 Kelly 公式和概率论思想在赌场上赢取了大量的金钱，甚至遭到赌场的禁入。后来两人都创办了各自的对冲基金，取得了很好的业绩。

C.E. Shannon，美国华尔街量化交易对冲基金的鼻祖，1970年代首创第一个量化交易对冲基金， 美国数学家、电子工程师和密码学家，被誉为信息论的创始人。

E.O.Thorp， 1961 年出版了他的著名专著《Beat the Dealer》系统介绍在许多赌博游戏中取胜的策略，此后 30 多年中，Thorp 发表了多篇关于 Kelly准则的论文，比如 1997《The Kellycriterion in blackjack, sports betting, and the stock market》，文中进一步论述了Kelly准则在21点、体育赌博和股票投资的应用。

2、公式本质是追求几何平均收益率

流行的 Markowitz 理论和信息比率，对业绩的衡量和算术平均收益率相关，而Kelly 公式本质追求几何平均收益率最大化，比如做了两笔交易，第一笔亏50%，第二笔盈利 100%。收益率算术平均是25%，而几何平均收益率是0。

再举一个稍为复杂一点的例子:假设有两个投资标的，A和B。其中A的收益率有两种可能:-50%和 50%，概率分布为 0.25 和 0.75:B 的收益率为 100%和 0%，概率分布为 0.25 和0.75。A和B的期望收益和标准差都是0.25 和0.433。

按照 Markowitz 理论，两者的收益和风险都一样，但按照几何平均收益率，A 是 13.9%,B是18.9%，B优于A，这符合直观理解，因为B不会亏钱。

3、公式几种形式

记f*为现有资金下的最佳比例，下面的几种常见的表达形式，有一个前提，假设长期交易过程是一个贝努利试验。

1、Kelly 原始形式

f*=p-q=2*p-1

其中，p指胜率，q指败率，在《巴菲特的投资组合》中有提到该公式。

2、Thorp 形式

其中b为盈亏比:

3、完整形式

其中，r1指盈利时的收益率，r2指亏损时收益率的绝对值。

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