极几何是机器人视觉分支——双目视觉中，最为重要的概念。与结构光视觉不同，双目视觉是“主动测量”方法。

1、极几何的研究前提

极几何的研究对象是两幅有重叠区域图像。研究目标是提取相机拍摄位姿之间的关系。一旦得到两次拍摄位姿之间的关系，我们就可以对场景点进行三维重建。

极几何定义的物理量包括4个：

1、极点

2、极线

3、基本矩阵

4、本征矩阵；定义如左图。

极几何研究的物理量包括4个：C1坐标，C2坐标，R，T，定义如右图。

极点的本质是另一台相机光心在本图像上的映射点。极线的本质是另一台相机光线在本图像上的映射线。（极点和极线都是在图像上的）

1.1、本征矩阵

本征矩阵携带了相机相对位置信息。其推导如下：

在相机2的坐标系中，场景点坐标：X₂ = RX₁+ t

此时，三个向量在同一个平面上，则有：X₂ ^T t_x RX₁  = 0

其中，t_x  代表 t 的叉乘矩阵。t_x R 称为本征矩阵E. 两幅图片一旦拍摄完成R与T都是确定的。空间中任何一组对应点都必须满足本征矩阵！

1.2、基本矩阵

空间中的点满足E矩阵，则该点坐标Zoom后，仍然必须满足E矩阵。坐标的Zoom显然和相机内部矩阵有关。

在相机坐标系下：

x₁ = KX₁; x₂ = KX₂

其中，x₁ ，x₂ 是齐次像素坐标。那么，X₁  =  K^-1x₁ ；X₂  =  K^-1x₂

带入本征矩阵可得：

x₂ ^T K^-Tt_x RK^-1 x₁  = 0　　======>      K^-TEK^-1  = 0  =========>  x₂ ^T F  x₁  = 0 

F  =   K^-TEK^-1  称为基本矩阵。

基本矩阵所接受的是齐次像素坐标。

基本矩阵的秩是2，因为它有0空间。同时，其自由度是8，因为它接受的是齐次坐标。每组图像点可以提供1个方程，所以由8组点就可以线性解出F矩阵。当然，解法是化成Ax = 0，然后使用奇异值分解取v的最后一列。然后2次奇异值分解去掉最小奇异值正则化。

1.3、极点与极线

从基本矩阵可知：x₂ ^T F  x₁  = 0 

显然这里有熟悉的身影，由点线对偶可知，x₂ 在直线 F  x₁  上。该直线是极线在图像2上的方程。x1 在直线 x₂ ^T F   。该直线是极线在图像1上的方程。

极点是多条极线的交点（最少两条）

2、由本征矩阵恢复R,T

E =  t_x R = [ t_x r₁  t_x r₂  t_x r₃ ]

E的秩为2，因为其有0空间。同时，由于r1 r2 r3 是正交的，所以其叉乘之后必然也是正交的。所以不妨假设其叉乘完之后依然满足旋转矩阵的某些性质。比如：每一列，模相等。

由  t^T E = 0 可知，对E奇异值分解之后，t 为最小奇异值所对应的 u(:,end). 如下：

这里假设了 R = UYV^T .因为U,V和R是同族的。所以必然由矩阵Y使得上式成立。V是相互垂直的，R的作用是旋转，U则必然是相互垂直的。所以这里R一定有解，不妨设一个中间变量Y。并很容易解得：

综合来看，由4组可能的解，对应以下四种情况，其中只有第一种是可能的。故det(R) = 1 则猜z中了正确的解，如果det(R) = -1

则解为：t = -t ；R = -R　　

3、由空间位置关系恢复三维坐标

在已知标定信息，两相机位置关系的情况下，就已知了两个相机的投影矩阵P，对于空间中一点X1，有以下关系：

x1　=  P*X1

[x1]_x P X1 = 0;

显然，我们又有了Ax = 0的神奇形式。奇异值分解搞定之。

4、由RANSAC求 F 矩阵

有了8个对应点，我们就可以求得F矩阵，再加上K，我们就可以对两幅图片进行三维重建。然而想要自动的求取8个对应点还是有一定难度。

SIFT算法提供了一种自动匹配的可能性，然而，匹配结果还有很多误匹配的点。本节的目标是利用RANSAC作为算法基础，基础矩阵作为方法，来对匹配结果进行判断。

首先，由于检测误差等因素，像素点不可能恰好满足基本方程。所以点到极线会有一定的距离。我们采用垂直距离来建模，有以下表达式：　　

F1表示F的第一列。只要误差小于阈值，都认为该点符合 F 方程。

算法流程如下：

1、随机取8个点

2、估计F

3、计算所有点的e，并求#inlier

4、回到1，2，3，如果#inlier变多则更新F_candidate

5、迭代很多次结束，F_candidate 为F的估计值

RANSAC算法又一次证明了其对噪声超级好的控制能力。

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