芒格说：投资者的长期收益率接近 ROE，别被误导了！

芒格说：投资一家公司时，无论当初买得贵——哪怕贵得离谱，还是买得便宜——哪怕打骨折买入，当你持有时间足够长时（比如 40 年），最终你获得的年化收益率都会接近于这家公司的净资产收益率（ROE）。当然这是我概括出来的，芒格原话如下：

长远来看，股票的回报率很难比发行该股票的企业的年均利润高很多。如果某家企业40年来的资本回报率是6%（即 ROE6%），你在这40年间持有它的股票，那么你得到的回报率不会和6%有太大的差别——即使你最早购买时该股票的价格比其账面价值低很多。相反地，如果一家企业在过去二三十年间的资本回报率是18%，那么即使你当时花了很大的价钱去买它的股票，你最终得到的回报也将会非常可观。

这段话乍看起来非常反直觉，因为股神以前时时刻刻告诫大家：买得便宜才是王道（价值投资的祖师爷格雷厄姆甚至提倡以营运资产 2/3 的低价才能买入公司），怎么现在芒格又说买得巨贵无比也无所谓？而且，还说跟买得便宜的人一样，大家会获得同样的年化收益率——公司的净资产收益率（ROE）。

碰到问题先别慌，将芒格说的这段话展开描述一下，看看芒格说得对不对。以下全程只用到初中数学，不用紧张。

命题描述

最初，以市净率   买入公司股权，假设此时公司净资产是  ，那么买入成本就是   ，如果公司的长期净资产收益率（ROE）是  ，那么在接下来的年份里：

第 1 年

因为净资产收益率=净利润/净资产，所以第 1 年公司就能以净资产   获取净利润  ，年末净资产就增长为  ，假设净利润不分配，依然留存在公司，那么：

第 2 年

公司以   的净资产，实现净利润  ，净资产增长到

假设净利润依然不分配，留存在公司，那么：

第 3 年

公司以   的净资产，实现净利润  ，净资产增长到：

也就是：

……

第 n 年

公司以   的净资产，获取净利润  ，年末净资产增长为  。

假设第 n 年，市场对公司的估值市净率变成了   ——与之前买入市净率   有可能不同，因为此时市场估值可能发生了变化，那么持有股权的市场价值就变成了： 。

那么持有的这 n 年间，年化收益率 r 是多少呢？

年化收益率

根据年化收益率的定义：

我们需要从这个等式中求出我们要的   。

首先，等式两边约掉  ，将   移项到右边：

其次，等式两边同时开   次方，得到：

最后，将 1 移到等式右边，得到：

可以看出，右边开方   比较复杂，其他的参数和表达都挺简单的。因为原始命题中包含了一个假设条件——投资年限足够长，所以我们来研究当   足够大时，这个开方函数的规律。

开方的规律

利用电脑中的 Grapher 软件，选几个典型的数进行开方，看看它们的图形规律：

当   时，也就是 n 年后市场给于公司的估值 PB 是当初买入时的 2 倍，相当于当初买得非常“划算”——打 5 折买入，函数   的图像长这样：

当   时，也就是 n 年后市场给于公司的估值 PB 是当初买入时的 10 倍，相当于当初买得极其“划算”——打 1 折买入，函数   的图像长这样：

当   时，也就是 n 年后市场给于公司的估值 PB 是当初买入时的一半，相当于当初买得很“贵”——花了 2 倍的价格买入，函数   的图像长这样：

当   时，也就是 n 年后市场给于公司的估值 PB 是当初买入时的 1/10，相当于当初买得巨“贵”无比——花了合理价格的 10 倍买入，函数   的图像长这样：

从这几个函数示例来看，无论   是大还是小——对应着当初买得便宜还是贵，当年限 n 足够长时，开 n 次方后最终的值都无限趋近于 1。

在 excel 里很容易能制作一份这个函数的对应关系，分别选取 0.1~10，对它们开 1～50 次方，最终结果是：

可以看出：

当开方的次数（投资的年限） n =25 时，无论    的取值是 0.1 还是10 ，最终值就已经非常接近 1 了，而当开方数（投资的年限）变成 50 年时，与 1 的差距就微乎其微了。

把这个讨厌的开方数的规律探索清楚后，结论就非常清晰了：

结论的推出

当 n 足够大时，最终的回报率    就近似于：

也就是： 。

而 R 是公司的净资产收益率（ROE），所以芒格说的这段话是对的：

只要投资年限足够长，无论当初买得贵——哪怕非常贵，还是买得便宜——哪怕非常便宜，投资者的长期年化收益率都无限接近于公司的净资产收益率（ROE）。

等等，即使数学推导明白了，这段话依然非常反直觉：

一家市场估值 2 倍 PB 的公司，真的可以用 10 倍 PB 的价格买入吗？如果真是这样，岂不是只要看一眼这家公司的 ROE，如果觉得还可以（比如 15%），就可以无论股价高低直接闭眼买入？因为长期下来就会获得 15%的年化收益率，简直美滋滋。既然如此，为什么市场中有这么多人买股票却亏了钱呢？

用考据学家的严谨态度，我们来仔细研究芒格这段话里面有没有藏着什么“秘密”？

别忘了前提假设

芒格这段话里藏着几个前提假设：

1. ROE 水平长期稳定

刚才的推导中，每一年的净利润都是按照净资产乘以固定的 ROE 水平——也就是所谓的“长期净资产收益率”进行的，在所有的年份里长期保持不变。如果某一年的 ROE 水平突然变化，这个结论就不成立了。

2. 没有出入金的影响

在整个持股时间内，没有中途卖出股票，也没有新增投入资金，才会满足刚才推导的结论。

3. 投资的年限足够长

假设以市场合理估值为 5 倍和 2 倍的价格买入（  分别取 1/5 和1/2），假设这家公司的长期 ROE 是 15%，分别持股 5 年、10 年、50 年、100 年时，年化收益率    又是怎么样的？

可以看出，等到持股 50 年、100 时，年化收益率确实已经比较接近 ROE 水平了。

但是，如果你不幸以市场合理估值的 10 倍价格买入（ ），那么，年化收益率   会如何？

即使持有 100 年时间——把这只股票传给下一代，年化收益率也只有 12.7%，离 15%的 ROE 水平还有 3 个百分点的差距。

继续延长，持有到 200 年时间——如果 25 年产生一代人，那么这只股票可以传给 8 世孙，最终年化收益率

算出来结果是=13.68%，离15%的 ROE 还有 1 个百分点的差距。

继续推演下去，你会发现，只有当持有时间达到 5000 年时——相当于中国人的共同始祖炎帝和黄帝以这个价格买入了这只股票，然后传承5000年，一直传到现在给了你，此时才能实现年化收益率：

算出来是 14.95%，这时候离 ROE 15%的水平还是有 0.05% 的差距。

所以实际投资过程中，买得便宜依然是王道，因为没有人能保证一家公司的 ROE 水平长期维持在优秀的水平，即便能维持，买贵了的话收益率也堪忧，你肯定不想从现在开始，5000 年之后才让年化收益率达到 ROE 的水平，再说，一家公司能挺过50年就很优秀了，哪能等到5000年？