吴宗汉（东南大学物理学院南京 210096）
徐世和（美特科技（苏州）有限公司苏州 215131）
摘要
本文对莫比乌斯帶振动问题进行了解析分析和对用其用实验方法进行的实测分析作了讨论。
关键词
莫比乌斯帶 振动 实测分析
Considerationof Analytical Method for Mobius Belt Vibration Problem
Zonghan Wu (Department of physics,Southeast University, Nanjing, 210096)
Shihe Xu (Merry (Suzhou) Co. Ltd.,Suzhou, 215131)
Abstract
In this paper, the vibration ofMobius band is analytically analyzed and the measured analysis with experimentalmethod is discussed.
Key word
Mobius Belt Vibration Analysis of Measurement
前言
关于莫比乌斯帶振动问题，需要了解一下其缘由。八十年代末期英国国防部的研究人员为了研究降低战斗直升机引擎噪声的方法，曾尝试使用复合平面材料封闭引擎，然后用电噪声抵消技术来降噪。但奇怪的是噪音非但没有减小，反而是这些复合平板材料有如扬声器一般因振动而发出声音。于是，研究人员反其道而行之，想到了利用这种复合平板材料来制造扬声器，并开始进行这方面的开发工作。NXT是一种宽波段声学辐射器。NXT平面扬声器的基本结构，是驱动器加上音板。该技术彻底放弃了传统活塞式运动的设计，音板用一块轻质的平板也可以是某个箱体外壳或一个平面。驱动后整个表面几乎是随机振动、而不是规律性振动的振膜来取代。在其受到某种激励以后，面板上每一个面积单元都能作相互独立的无规则振动，以至于我们可以将整块面板设想成是一个由微型扬声器组成的阵列。每个微型扬声器单元都辐射一个非相关的信号，但它们的信号又最后合成在一起，从宏观上形成一个我们所需要的声学输出。这种随机振动的平板与常规振膜大相径庭，因为其功率是被直接输出到相对频率恒定的平板机械阻抗之上，NXT具有很优良的特性，随着科技的发展和社会的进步，家庭影院音响设备也在不断地更新换代，其中，目前市场上备受关注的英嘉尼隐形音箱就是源于英国NXT平面扬声器技术。我们设想若驱动器驱动的音板是莫比烏斯带，则其和传统扬声器的锥形纸盆作活塞式运动不同，传统扬声器的锥形纸盆其正面发出的声音和背面发出的声音是反相的。而莫比烏斯带上的振动和NXT技术相类似，其特点是正反面辐射同向（或由正向逐渐变化到反向）声波。其原因是由于分布模式复杂的辐射特性，以及从远场看来辐射元之间互不相关的相位特性，音板在其前后两面所产生的声波是同相的。从背面发出的声音，不仅不会与其正面发出的声音功率互相抵消，反而会很好地叠加在一起。对莫比烏斯带上的振动解析的考虑应是被重视的。
管理学上有句名言：“No Measurement,No Management”。在科学、技术领域更是如此，“没有量化，不能深化”。我们必须及时完成去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工制造过程。为此，我们必须通过：
① 数学解析的方式来解析，数学这门学科最具逻辑严谨性的, 用以求得到其规律。
②用实验的手段、实验的方法，获取数据，并用数学归纳的方法，处理数据。开始时，我们往往是以直觉思维和测量为主导的,后经逻辑思维帮助予以完善而得出的.可以说,直觉思维和测量累积了数据，而用数学归纳的方法，处理数据的收敛思维则是上升、提高。直觉思维和收敛思维是具体创造过程的两条腿,互相制约,密切配合,缺一不可进行. 缺一就不能腾飞. 而且应有“测量和数据”的佐证。
解析
从声学基础知识可知：
对于一张紧的膜，设想平衡时其处于xy平面上，若在膜上割出一直线，则在直线两边必有相互牽引力，即是张力，假设该张力为T,若在（x，y）处取一亇dxdy的微面积元，（图2）当膜受到一个与xy平面相垂直的外力扰动后，膜就会发生形变，膜会凸起或凹下，然后在张力T的作用下产生垂直于xy平面的横向振动。
若膜上某点离开原来平衡位置的位移为η，膜的面密度为σ，从牛顿第二定律可写出运动方程。
经过整理后可得：
现在再考虑“薄”板的振动方程：
这里先了解几个物理量。
σ：是纵向伸长与横向压缩之比，称为泊松比。
E：材料的应力和应变之比，称为杨氏模量。它与泊松比的关系表示了板的杨氏模量从E变化为E／1-σ2的等效变化。
η代表板中心面上任一点处在垂直方向的位移，η＝η（x,y,t）。则板振动方程为：
下面我们分别对几种情况进行讨论：
⒈对NXT的解析
①NXT音板振动是一个强迫振动。
②音板振动是一个平板振动，若音板较薄则可能是一个方膜振动。
③由于 NXT音板振动在平板面会产生驻波，因此驱动器往往安放在节点的位置上。
④其边界条件会由其边框限定，或作为平板振动也会由其边界的固定形式决定。
总之，其解析解是可由数理方程求得的。
⒉ 对克莱因瓶的解析解，是困难的。
① 于克莱因瓶振动的复杂性。它既有瓶体的表面振动，又有如同号筒喇叭一样的激励瓶内空气的振动。
② 若用数值方法求解，用边界元法则边界难以确定，若用有限元法，则整体振动难以求解。
⒊ 对莫比乌斯帶振动的求解。
可以用参数方程式创造出立体莫比乌斯带（如图2）
这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0）。参数
u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。
从拓扑学上来讲，莫比乌斯带可以定义为矩阵[0,1]×[0,1]，边由在0≤x≤1的时候（x,0）~（1-x,1）决定。
莫比乌斯带的参数方程为：
莫比乌斯带是一个二维的紧致流形（即一个有边界的面），可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例，可以看作RP#RP。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是一个有一纤维单位区间，I= [0,1]的圆S上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S上一个非平凡的两个点（或Z2）的从。
对莫比烏斯帶振动问题应该较对克莱因瓶的解析简单，有可能做到。
① 莫比乌斯帶振动是一个强迫振动。
② 莫比乌斯帶振动或是一个平板振动，若帶较薄且边框材质坚固则可能是一个方膜振动。
③ 解析解仍存在不少困难，其一是边界问题，常用的方法是莫比烏斯帶两边的边缘是材质更硬的材质，这样莫比烏斯帶就可以以此来固定了；也可以用点固定法，在莫比烏斯帶的边缘上有3—4个牢固的固定点。
④ 由于 NXT音板振动在平板面会产生驻波，而莫比烏斯带是否也能产生驻波尚难确定。
⑤ 由于 NXT音板其边界条件会由其边框限定，或作为平板振动也会由其边界的固定形式决定。若用数值解的方法。则边界元、有限元的选取则很重要。用数值方法求解，用有限元法，可以对振动求解。用边界元法则因边界难以确定，而使问题变得复杂、困难。
⑥ 莫比乌斯帶的边界却因为其是拓朴面而不能确定其边界。有学者求解了拓朴面上的拉普拉斯方程，例如：Gerhard Dziuk等人的在综述文章：表面偏微分方程的有限元方法《Finiteelement methods for surface PDEs》中也有阐述，由于涉及的数学知识所限，本人难以介绍，但是其解析解是可由数学家帮助求得的。
实验解析
作为工程实际中的应用，我们有两种实验解析的内容：
① 用类似于测量喇叭纸盆振动的方法着重讨论其不同位置处的振动位移。
如图3所示。若将莫比乌斯帶的形状规整成较规则的形状（如圆环状、方环状等），例如如圆环状，其中心位为原点o，确定座标系统，用6根牢固的支杆（a，b，c，d，e，f）对称地将莫比乌斯帶支撑连接成上下对称的纺錘体形状，该纺锤体形状系统中轴和y轴平行，并可绕y轴在xz平面内旋转；在z轴左轴有一激光探头，它可以测量莫比乌斯帶面上振动的位移大小，激光探头可以y轴方向上下平行移动，以保证能测到莫比乌斯帶宽度方向上不同位置点的振动的位移大小，激光探头又可以绕y轴在xz平面旋转，其目的是可以测到莫比乌斯帶面上振动的位移大小的方位变化，我们都以莫比乌斯帶面上振动的位移的最大值及其方位角作为研究的内容，因此，莫比乌斯帶面上振动的位移大小和方位角都可通过该方法测定。这是和Dr.W.Klippe测量扬声器的方法类似，但只不过较其要复杂，相信在Dr.W.Klippe测量仪器上改进设计是可以解决的。
效果测试问题。
我们制成样品后采用悬挂固定的办法固定，再将其置于消声室进行测试，这样做是检测其效果，如频率响应、声压辐射的空间分布、灵敏度等诸多电声特性，但是解决音板的振动特性的补充。
结语
本文是关于莫比乌斯帶振动解析和实验测量问题的一些考虑，尚未能达到对关于莫比乌斯帶振动问题求解的最终目的，解析解难度更大，目前在用有限元方法求解方面进展较大，研究者也比较多。由于本人并非研究拓朴学的，对该方面知识很肤浅，这里整理成文只是一点考虑罢了。该文成文中得到了南大数学系秦理真教授的帮助，特致谢。
参考文献
⒈ 南京大学声学研究所：《声学基础》 上海科学技术出版社
⒉ 台湾逢甲大学、尚马电声科技有限公司：《电声理论暨实务系列研讨会资料》2009年
⒊：Gerhard Dziuk,Charles M. Elliott：《Finite element methods for surface PDEs》Cambridge University Press, 2013 Printed in the United Kingdom