什么是阻尼？- 大数跨境

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什么是阻尼？

声学楼论坛

2024-08-24

1.阻尼的概念；

2.振动领域的阻尼；

3.阻尼的单位；

4.阻尼估计；

5.阻尼的影响；

6.负阻尼。

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阻尼的概念

阻尼是表征结构动态响应（振动）衰减快慢的参数，阻尼大，振动衰减快；阻尼小，则衰减慢。从能量的角度来讲，阻尼使结构的振动能量消散，把振动动能转变为热量而消散的过程。简单地讲，阻尼是阻碍结构的振动，并把振动能量变为热能的一种机制。阻尼也是阻碍结构振动的阻力，它来源于两物体之间的干摩擦力，有润滑剂的两个面之间的摩擦力，气体或液体等介质的阻力，电磁阻力，由于材料粘弹性产生的内部阻力等等。

阻尼共有三种类型：粘性阻尼、库伦阻尼和结构阻尼。粘性阻尼正比例于运动的速度，又称线性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。库伦阻尼取决于表面摩擦和表面之间的压力。结构阻尼，也被称作“迟滞”，是材料内部的摩擦；所有的材料都表现出一定的迟滞性。接下来主要介绍粘性阻尼和结构阻尼。

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振动领域的阻尼

在振动领域通常考虑粘性阻尼，以及它的特殊情况，比例阻尼和瑞利阻尼，包括模态阻尼。另外，再简要介绍一下结构阻尼。

在振动领域，运动方程中通常使用粘性阻尼，这时振动系统受到大小与运动速度成正比但方向相反的阻力所引起的能量损耗。粘性阻尼假定阻尼力F_c与速度ν成正比，即

无论对简谐振动还是非简谐振动都可得到线性方程，求解方便，且能方便地表达阻尼对频率、共振等的影响，是应用最为广泛的阻尼模型。

在单自由度系统(SDOF)动力学分析中通常用阻尼比ζ，也称为相对阻尼系数（阻尼系数c对临界阻尼系数c_c的比值）来量化表示粘性阻尼。

有阻尼单自由度系统的运动方程有三种不同的情况。一种解针对系统阻尼小于临界阻尼（欠阻尼：ζ<1）；一种解针对阻尼等于临界阻尼（临界阻尼：ζ=1）；一种解针对阻尼大于临界阻尼（过阻尼：ζ>1）。欠阻尼是振动响应的幅值逐渐衰减的过程，如图1蓝色曲线所示；过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有发生振动，如图1绿色曲线所示；临界阻尼也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些。

图1 三种阻尼情况下的振动响应曲线

虽然三种阻尼情况的解都重要，但通常只考虑阻尼小于临界阻尼的情况（欠阻尼：ζ<1），这是因为对结构动力学工程师和实验模态测试工程师来说，这个解非常重要。相对于欠阻尼，一种假想的情况是无阻尼，无阻尼单自由度系统的响应是正弦波，且幅值无衰减（简谐运动），如图2左侧黑色的单自由度系统，它的响应在右侧为幅值相同的黑色正弦波。而左侧蓝色SDOF是有阻尼的情况，其响应在右侧是指数衰减的波形。

图2 无阻尼和有阻尼SDOF的响应

对于欠阻尼的情况，有阻尼单自由度系统的根可简写成

其中，

σ=ζω_n是阻尼因子

是无阻尼固有频率

称为阻尼比

是临界阻尼

是有阻尼固有频率

大多数结构动力学和振动工程师都会使用这些定义，但需要注意到，无阻尼固有频率是与系统的阻尼无关的，只有有阻尼固有频率才随着阻尼的变化而变化。着重注意的是方程的根是复数，可以用实部与虚部来描述这个极点（方程的根）。这些极点以共轭复数对的形式出现，根的实部与极点阻尼相关，虚部与极点的频率相关。对于欠阻尼系统而言，根的实部是负数，这个负数是多余的，但是在文献资料中经常这样写，有时会引起一些迷惑。

经常用S-平面图（见图3）来解释，这个图表征的是根的位置，是根据实部（阻尼）和虚部（频率）来绘制的。对于固定的质量和刚度，阻尼增加，那么极点将移动到jω轴的左侧，有阻尼固有频率将减小。随着阻尼的增加，极点将在S-平面映射出一个圆形轨迹。随着阻尼接近临界阻尼，根和它的共轭接近σ轴（阻尼轴）。从原点到极点的向量长度（圆的半径）表示固有频率。

图3 S-平面图

当阻尼从无阻尼系统变化到欠阻尼系统，临界阻尼系统和最终变化到过阻尼系统时，我们来讨论极点在S-平面的移动情况，同时也给出了脉冲激励下的响应。图4展示了这个过程，接下来描述这个过程中的每一步。对于无阻尼的情况，极点位于jω轴上，作为一对共轭复数对±jω_n出现。如果给出这个无阻尼情况的时域响应和频响，那么时域响应会是正弦波，响应中没有阻尼，频响在频谱中将会是一条谱线。然而，现实是我们从来不会有这种无阻尼的情况，说明这个无阻尼的情况只是为了展示完整性。现在，如果阻尼ζ是临界阻尼的0.1，极点-σ±jω_d将会移动到jω轴的左侧，有阻尼固有频率将会略微小于无阻尼固有频率，这种情况如图4中蓝色所示。注意到时域响应展示出了小阻尼正弦指数衰减特性，频响似乎稍微更宽，这表明阻尼增加了。随着阻尼ζ从0.1增加到0.3，至0.7，极点进一步向后移动，远离了jω轴。在这些时域响应和频响图中似乎阻尼更大。随着阻尼从无阻尼增加到临界阻尼，极点移动了一个圆弧，最终在阻尼轴会合，此处的阻尼等于临界阻尼，根变成了两个实数重根。随着阻尼进一步增加，变成了过阻尼情况，两个极点分离，但仍然为实数。随着阻尼增加远离临界阻尼，一个极点将移动到阻尼轴的无穷远处，另一个实数根移动接近零。

图4 单自由度系统的极点随着阻尼增加而移动

对于有限元动力学方程，直接构造模态阻尼矩阵非常困难。但如果我们假定阻尼矩阵为比例阻尼形式，即阻尼矩阵可以通过模态向量U正交化为对角阵，即

同时，质量矩阵和刚度矩阵也通过模态向量转换成为了对角阵，则动力学方程可以在模态空间进行解耦，将运动方程转化为以模态坐标表示的一系列非耦合的单自由度方程。这样，无需直接构建复杂的阻尼矩阵，只需要提供各阶模态阻尼比，然后求解这个单自由度方程，就能得到结构的动力学响应。

所以，模态阻尼的本质仍然是粘性阻尼，但它通过定义模态阻尼比来体现粘性阻尼的作用，避免了直接构建阻尼矩阵。

对于比例阻尼，还有另一种更常见的特例，即瑞利阻尼，也就是说阻尼矩阵正比例于质量矩阵和刚度矩阵

这是因为材料或结构的实际阻尼机理与质量或刚度相关，对于摩擦而言，矩阵正比例于质量；对于内部材料阻尼而言，阻尼正比例于刚度。因此，如果按瑞利阻尼来考虑，在有限元计算中，只需要输入系数α和β，这样的形式更简单。

粘性阻尼模型最大的缺点是每周期的能量损失依赖于激励频率，这种依赖关系与大量试验结果不符。对于振动系统内部的材料内摩擦阻尼，每周能量损失只取决于振幅，与振动频率并无关联，采用结构阻尼模型更为合理。

结构阻尼也叫滞变阻尼，它假定应力-应变间存在着相位差，从而导致振动一周有耗能发生。结构阻尼表现为以一定频率循环加卸载时，加载和卸载不按同一路径，表现出迟滞性。

在NVH有限元分析中，结构阻尼通过指定材料的损耗因子（下面会介绍）来定义。对于金属材料，损耗因子数值很小，一般在0.0001-0.001，通常不需在材料卡片中设置；对于高阻尼材料，例如汽车中经常应用的复合材料阻尼片和沥青阻尼片，损耗因子大概在0.2-1.0的范围，必须在材料卡片中指定损耗因子以体现结构阻尼的影响。

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阻尼的单位

上一节中，我们介绍了阻尼系数c和相对阻尼系数ζ（阻尼比），由于相对阻尼系数为阻尼系数与临界阻尼系数之比，它是一个无量纲，通常用百分数来表示。因此，在这主要介绍阻尼系数的单位。采用量纲分析方法来讨论阻尼系数的单位。

对于粘贴阻尼而言，阻尼力正比于速度。因此，阻尼系数c=F/v，故，它的单位为Ns/m。但这个单位不常用，常用的是kg/s，如图5中使用的单位就是这个。

图5 添加动力吸振器中需要指数阻尼值

我们知道

故，阻尼常数c有

c=ma/v

从量纲上分析，它的单位为。

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阻尼估计

经常需要测量系统的阻尼，可以通过一些不同的方法计算得到。两个最常用的方法是半功率带宽法和对数衰减法。

在半功率带宽法（见图6）中，阻尼与固有频率除以“半功率”点对应的频率差相关。

阻尼大小与材料有关，如金属弹簧的内部阻尼比很低，约为 0.5%，而泡沫的阻尼比率高达 20%。除了用阻尼比表示阻尼大小之外，还经常用损耗因子η和品质因子Q来表示阻尼大小。像在有限元仿真中，经常用损耗因子来表示结构阻尼的大小。

损耗因子为用小数表示的阻尼比的2倍，即

η=2ζ

如果阻尼比为1%，那么η=0.02。

品质因子为损耗因子的倒数，即

比方，一个系统的阻尼比为1%，那么品质因子Q等于50。品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了过共振时比较平稳，希望Q值小些。

有时，品质因子更常用，这是因为品质因子实质上是放大因子。对于单自由度系统在受简谐力（Fsinωt）的作用下，它的动态位移响应X与静变形δ_st的幅值比(称为动力放大系数)为

式中，β表示外界的激励频率与这个单自由度系统的固有频率之比，ζ表示单自由度系统的阻尼比。不管阻尼比为多大，当β=1时，即外界的激励频率与固有频率相等时，幅值比有极值，等于1/(2ζ)，即此时，品质因子等于放大因子。

虽然这个方法对于阻尼估计似乎是可行的，但现实情况是一次典型测量中没有足够的频率分辨率，导致精度不够。

图6 幅值图示意半功率带宽法

在对数衰减法（见图7）中，使用单自由度系统的时域响应的幅值在一个或几个周期内的衰减来确定阻尼。

将上式写成用衰减率表示阻尼比，得

当δ<<40≈(2π)²时，有

将衰减率与阻尼比绘制成曲线，显示在δ-ζ图中，如图8所示，从图中可以看出当阻尼比小于30%时，两条曲线几乎相重合，因此，采用上式等价计算阻尼比是可行的。

图7 响应示意对数衰减法

图8 衰减率与阻尼比曲线

虽然对数衰减法对于估计阻尼是一个非常不错的方法，但问题是时域响应中只有一阶模态的情况比较少见，因此，从现实角度来说，这个方法也不可行。

这两个方法更多是从历史角度来描述，因为他们频繁出现在相关文献中。估计一组模态阻尼最合适的方法是使用模态参数估计工具和模态数据去获得模态振型。这些工具是以最小二乘方式处理数据以找到感兴趣的参数的最佳拟合，在这个例子中，这个参数是阻尼。

必须注意到阻尼是在共振频率处最小化响应的唯一机制。同样要着重指出的是在共振频率处，系统的惯性力（质量与加速度的乘积）与弹性力（刚度与位移的乘积）平衡。

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阻尼的影响

有阻尼单自由度系统的运动周期为

它比无阻尼情况下的周期略长，而周期的倒数是频率，因此，有阻尼固有频率（见第2节的公式）比无阻尼固有频率略小。但通常大多数结构的阻尼比小于10%，因此，可以忽略它对周期和固有频率的影响。

通过之前的系列文章，我们了解到，无阻尼固有频率处的FRF幅值应是无穷大，但是由于阻尼的存在，导致共振频率处的幅值不会无穷大，其幅值为1/ωc，相位突变180º，表明在共振频率处，FRF的幅值主要受阻尼控制。阻尼在共振频率附近一定范围内，对减小振幅有显著作用，增加阻尼，振幅可以明显下降。在离开共振频率稍远的范围，阻尼对减小振幅的作用是不大的，尤其当激励频率远大于共振频率时，阻尼几乎没有什么作用。

对于单自由度系统而言，考虑变化的阻尼系统。那么，随着单自由度系统阻尼的变化，其幅频和相频图，如图9所示。从这些图可以看出，阻尼增加，系统的响应反而减少。事实上，在共振频率处，系统的惯性力与弹性力平衡。这意味着唯一能平衡外力的只有阻尼力。注意到随着阻尼的增加，响应的幅值改变更平缓，且在一个更宽的频率范围内。从另一个方面来解释，这是因为阻尼越大，在β=1处，放大系数（品质因子）越小，因而，峰值越低，越显得宽胖。随着阻尼的增加，相位滞后更平缓，也是在一个更宽的频率范围内。在测量的频响函数中总是可见到这两个效应。

（a）不同阻尼比下的幅频曲线

（b）不同阻尼比下的相频曲线

图9 单自由度系统在不同阻尼下的幅频和相频曲线

通过前面的单自由度系统的FRF析可知，在共振区范围内，阻尼对降低振动幅值起决定性作用（见图9a）。但是在隔振区域，并不是阻尼越大越好，实际上，阻尼大对隔振有负面影响，反之亦然。在图 10，可以看出，随着阻尼比的上升，在隔振区域内（激励频率与系统频率之比大于1.414），阻尼越大，传递率越大。从图中可以看出，在高频段，阻尼越大，传递率的幅值也大。因此，为了有效地达到隔振的效果，在高频段阻尼越小越好。

图10 阻尼对隔振的影响

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负阻尼

我们通常所说的阻尼是起到衰减振动直至消失的，此时，阻尼为正值。在飞行中的飞行器，由于种种原因，也会引起振动，但由于处于气流中，情况就有所不同，一旦发生振动，就会引起附加的气动力。在这些气动力中，有些将起激励作用。而有些将起阻尼作用。因此，对于线性系统，以后的变化过程就有可能有如下3种情况：1 振幅不断衰减而最终消失，这种情况下阻尼大于0，为正值，如图2中的蓝色响应曲线；2 振幅不断扩大而导致结构毁坏，这种情况下阻尼小于0，为负值，振动响应是扩散的，如图11所示；3 振幅保持不变，这种情况下阻尼为0，振动是简谐的，如图2中的黑色响应曲线。如果振动是扩散的，则称结构是动力不稳定的。通常，把由于气动弹性而引起的飞行器部件的不衰减的振动称为颤振。颤振的振幅相当大，而且十分危险（见下面的颤振视频）。颤振是在其本身的运动引起的气动力激励下发生的，所以颤振是一种自激振动。