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自动控制的经典控制原理阶段3（根轨迹法）

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自动控制的经典控制原理阶段3（根轨迹法）

自动控制的经典控制原理阶段3（根轨迹法）

中浩控制

2026-03-13

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导读：根轨迹法（Root Locus Method）是经典控制理论中分析与设计线性定常系统的核心图解方法，由W.R.Evans于1948年提出。它直观展示开环参数（通常为增益K）从0→∞时，闭环极点在s平面

根轨迹法（Root Locus Method）是经典控制理论中分析与设计线性定常系统的核心图解方法，由W.R.Evans于1948年提出。它直观展示开环参数（通常为增益K）从0→∞时，闭环极点在s平面的运动轨迹，用于快速判断稳定性、动态性能与参数整定。

1. 零点极点基本概念

开环零点、开环极点

只考虑开环传递函数G(s)H(s)

闭环零点、闭环极点

闭环传递函数如下

闭环零点：使闭环传递函数分子 = 0 的根

→ 来自前向通道G(s)的零点，不包含反馈通道H(s)的零点。

闭环极点：使闭环特征方程的根，即

闭环极点 = 系统特征根，决定系统稳定性、动态性能。

一句话总结：

举例1（单位负反馈情况）

1) 求开环零点、开环极点

2) 求闭环零点

3) 求闭环极点

所以，闭环极点：

最终结果：

举例2：(非单位负反馈情况)

1) 开环零极点

2) 闭环零点

3) 闭环极点

最终结果

2. 根轨迹定义

当开环系统某一参数（如开环增益K）从0连续变化到∞时，闭环特征方程的根（闭环极点）在s复平面上形成的轨迹，称为根轨迹。

3. 根轨迹方程

4. 两大判据（绘图基础）

相位条件（充要）

幅值条件（必要）

→求轨迹上某点对应的K值

5. 根轨迹的基本性质（绘制法则）

1) 分支数

根轨迹分支数 = 开环极点数n(闭环极点个数)

2) 起点与终点

起点（K=0）：开环极点pi

终点（K→∞）：m个开环零点zj；剩余n−m条趋向无穷远（渐近线）

3) 对称性

根轨迹关于实轴对称（特征根共轭成对）

4) 实轴上的根轨迹

实轴上某段为根轨迹的条件：其右侧开环零极点总数为奇数

5) 渐近线（n＞m时）

6) 分离点/会合点

轨迹在实轴上的"分离/会合"点,满足:

7) 与虚轴交点（临界稳定）

8) 出射角/入射角（复零极点）

6. 根轨迹与系统性能

1) 稳定性

全轨迹在左半s平面: 系统稳定。
轨迹穿过虚轴进入右半平面: 临界稳定/ 不稳定。
临界增益 Kcr: 系统由稳变不稳的K值。

2) 动态性能(主导极点)

极点离虚轴越远:响应越快(调节时间短) 。
极点阻尼角β: ζ= cosβ, ζ≈ 0.707 时超调小、响应快。
极点虚部越大: 振荡越剧烈。

3) 稳态性能

•开环极点在原点: 系统为I型/Ⅱ型,决定稳态误差系数(位置/速度/加速度)。

7. 绘制步骤

1) 标出开环零极点(zj，Pi)

2) 确定分支数、起点/终点、对称性

3) 画出实轴上的根轨迹段

4) 计算渐近线(倾角+中心)并画出

5) 求分离/会合点、与虚轴交点

6) 补画复平面轨迹(出射/入射角) 美篇

7) 标注关键K值(如 Kcr)

举例：绘制下面典型二阶系统的根轨迹

绘制根轨迹步骤：

根轨迹草图应为：

从极点 0 和 -2 出发，在分离点 s＝-1 处汇合。

分离后，根轨迹沿垂直于实轴的方向（±90°）向左右两侧延伸，始终位于左半平面。

二阶系统根轨迹图如下

图中信息解读：

坐标轴：横轴为实轴，纵轴为虚轴，黑色直线为坐标轴线。

红色圆点：开环极点 p1＝0 和 p2＝-2，根轨迹从这两点出发。

绿色圆点：分离点 s＝-1，当 K＝1 时，两个实根在此处汇合，之后变为共轭复根。

蓝色曲线：根轨迹。当 K 从0增大到1时，两个实根从极点向分离点移动；当 K>1 时，根变为共轭复根，沿垂直于实轴的方向（±90°渐近线）向左右两侧延伸，始终位于左半平面。

从图中可以清晰看到，对于所有 K>0，闭环极点始终位于左半平面，因此系统始终稳定。

几个典型 K 值对应的闭环极点和阻尼比变化：

根轨迹上的理解：

当 0<span 时，闭环极点在实轴上="" (-2，0)="" 区间内移动，系统为过阻尼。<="" section="">

当 K＝1 时，两个极点在 s＝-1 处汇合，系统为临界阻尼。

当 K>1 时，极点变为共轭复根，沿垂直于实轴的方向向左右两侧延伸，系统为欠阻尼，且始终稳定。

这是三个典型 K 值对应的阶跃响应曲线：

从图中可以看到：

随着 K 增大，阻尼比减小，系统响应速度变快，但超调量增大。

临界阻尼（K=1）是无超调情况下的最快响应，是工程中常用的理想状态。

欠阻尼（K>1）响应更快，但需要权衡超调量和调节时间。

8. 根轨迹法优缺点

✅ 优点：

图解直观，无需解高阶方程

快速定性+定量分析参数影响

工程实用性强，适配单输入单输出系统

❌ 局限：

仅适用于线性定常系统

多变量系统不适用

复杂系统绘图繁琐（需软件辅助）

【声明】内容源于网络

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广州中浩控制技术有限公司成立于2002年，国家工信部首批重点专精特新“小巨人”企业，“广东省工业物联网工程技术研究中心”依托单位。是从事“智能工厂数字化服务、智慧用能双碳解决方案、智能装备”的研发和产业化的高新技术企业。

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