一、Dedekind（戴德金）分划定理的背景
戴德金分划第一次用纯集合与逻辑，严格定义了实数、补上了有理数的 “漏洞”，并彻底证明了实数是连续无间断的，是整个数学分析的地基。
有理数虽然稠密，但不连续、有间隙. 以前实数靠 “数轴上的点” 模糊理解.戴德金分划不用几何、不用极限, 只用集合分划就把实数严格建立起来, 让数学分析从此有了严谨的逻辑基础. 实数任意切一刀，刀口一定落在某个实数上，不会切空. 这就是实数连续性，是极限存在, 闭区间上连续函数性质
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微积分所有定理的源头公理. 首先我们给出它的定义：
二、实数的基本性质
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为了证明戴德金分划定理需要用到, 我们还需要引入几个非常基础的理论, 这就是有理数以及无理数的稠密性, 其主要内容如下： -
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三、Dedekind（戴德金）分划定理的证明
有了以上的准备工作, 现在我们可以给出Dedekind（戴德金）分划定理的证明.
四、Dedekind（戴德金）分划定理的应用
为了进一步加深对Dedekind分划定理的理解, 我们举几个例子.
五、总结
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Dedekind分划定理让分析学脱离几何直观，完全算术化、逻辑化, 是现代数学严格化运动的里程碑. 它是实数的出生证明，是数学分析大厦的基石. 正是因为它，我们才能放心地使用极限、微分、积分，让整个微积分体系严丝合缝、无懈可击.
实数理论有 6 大核心定理：
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(5)区间套定理 (6)有限覆盖定理 (7)聚点定理
其中, 戴德金分划是它们的逻辑起点，可以互相推导，撑起整个实数体系.