第一次遇到运用科学解决复杂性的问题是在20世纪70年代初打桥牌的时候。每当罗伯特·梅不玩牌时，他都在桌角的一个笔记本上涂画一些无法辨认的潦草字迹和标志。当时，没有人知道，他正在创造历史。
逻辑斯蒂差分方程
一个叫做逻辑斯蒂差分方程的简单方程使罗伯特感到困惑。数学家用逻辑斯蒂差分方程来描述动物种群数量的增长。这是一个非常有用的方程，它可以推导出非常有价值的答案。例如，它预测人口最初呈指数增长，但当食物、空间或其他资源变得有限时，人口将达到一个环境可以承受的稳定水平。
（逻辑斯蒂差分方程）
不过，罗伯特也发现了一个悖论。当人口增长达到一定的速度时，方程会陷入疯狂的状态。它并没有预测出稳定的变化，而是在“繁荣”和“萧条”之间循环或出现混乱，在这种情况下，人口可能出现繁荣，然后突然间崩溃。造成这种情况的原因是因为该方程含有正反馈元素和负反馈元素。现在人们认为这些元素对各种复杂性的出现极为重要，包括自然中种群数量的剧烈变动、股票市场上的大幅波动，以及群体智能中包含的稳定模式的出现。
逻辑斯蒂差分方程看似简单，但与历史上其他的方程相比，它可能会让更多的数学家发疯。
（数学家 大卫·希尔伯特）
该方程最初被应用于人口增长。如果p个个体的数量可以以恒定速度r无限制地增长，那么我们可以简单地表示为：
p目前=r×p之前
例如，如果人口以每年3%的速度增长，而且在每年的同一天计算人口数量，那么r的值为1.03。
这就是所谓的指数增长，很显然，我们的星球无法一直承受这种无限期的增长。无论我们进行增氧的调整，都会有一个上限。我们将K设定为地球可以承受的最大的人口数量。比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·费尔哈斯塔在1838年提出一个绝妙想法，他用一个简单的方程式说明了当人口增长接近人口上限时必须放慢速度，而如果人口数量超过上限，则会变成负增长。
逻辑斯蒂差方程如下：
p目前=r×p之前
这个看似简单的方程式（注意，方程是非线性的，因为p之前本身发生倍增）确实已引发了一些非凡的见解。
公式看起来十分简单。当人口数量远未达到极限时，p之前远小于K值，该方程可简化为指数增长方程。当人口数量逐渐接近极限时，增长便立即减速，直至（K-p之前）的结果越来越接近零。
这个方程简单描述了细菌在有盖培养皿中或藻类在池塘中的增长情况（只要存在食物或光线），如果根据时间画一个人口数量图表，则会出现一个经典的S形线条，开始呈指数增长，经过很长一段时间逐渐达到稳定状态——只要增长的速度不是太快。
一切都保持稳定的状态，直到我们达到了“三倍”的增长率（r=3）时，奇怪的事情发生了：平缓的人口增长曲线开始在两个不同的状态：“繁荣与萧条”之间波动震荡。当增长率达到3.4495时，曲线开始在四个不同的状态之间波动。当增长率达到3.596时，人口数量在16个不同状态之间快速波动。增长率再稍微高一点，便进入混乱状态。
关于“繁荣与萧条”的数学计算准确描述了现实世界发生的许多事件。不幸的是，它并未使预测变得更加容易——2008年的信贷危机便是一个很好的证明。这在一定程度上是因为基本模型通常过于简化，同时也因为系统的运行状况非常敏感地依赖于某些精确的条件。
（2008年信贷危机）
正反馈
正反馈是一个周期性过程，是音乐会中扩音器开得太大时扩音系统发出长声尖叫的原因。扬声器的声音被麦克风接收到，麦克风又通过扩音器使声响变得更大，扩音器再将这个声音送回至扬声器，从而形成了恶性循环，最终超过了系统符合，导致扩音系统发出抗议的哀嚎。第二次世界大战期间，科学情报专家R.V.琼斯在一个偏僻的机场观察到了一个精彩的实例。这个机场跑道两侧分别设立了麦克风和扬声器，有人在麦克风附近发出的笑声。因为该扩音系统正位于正反馈的边缘，所以当这个人走开之后，笑声便缓慢地放大。琼斯推测，不再需要人的帮助，这个机器便可一直这么独自乐下去。
始于2008年的金融危机，为正反馈的效果提供了一个并不那么幽默的例证。人们对金融机构的不信任被放大，直到全世界的金融系统都处于崩溃的边缘。许多个体金融机构在正反馈的压力下一蹶不振。2008年9月25日华盛顿互助银行的崩溃便是一个例子，当越来越多的投资者意识到其他人正在撤回资金时，他们也都纷纷撤回资金。在十多天内，债权撤走了167亿美元。
（华盛顿互助银行）
通过正反馈在细微的随机波动上的作用，某个随机选择也能引起强烈的偏好或成为时尚。例如，当你打算买一辆新车的时候，你发现大部分的朋友都拥有一辆福特或者克莱斯勒，所以你试图在两者之间做出选择。你到处征求建议，而碰巧你遇到的前三个人各拥有一辆福特，并且都觉得这车挺不错的。于是，你也会购买福特汽车。
现在，拥有福特的小组中又多出一人，这将稍微增加下一个四处征求意见的人购买福特而不是克莱斯勒的概率。如果这个人也购买福特，购车群体里就多了两个拥有福特汽车的人。“福特效应”在放大，最终，大部分人都购买了福特。当然，如果你最开始询问的几个人都拥有克莱斯勒，那就应该是“克莱斯勒效应”了。
正反馈
正反馈是指受控部分发出反馈信息，促进或加强控制部分的活动，它会逐步放大微小的影响。
福特效应
福特效应是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的、长期的、巨大的连锁反应。一个人想要购买汽车，在咨询其他人意见时，如果他遇到的前三个人都拥有福特汽车，且对福特汽车表示满意，那么他也会选择福特汽车。而他的购买行为增加了拥有福特汽车的人数，进而能够促使更多的人购买福特汽车。最终，大部分人都会选择购买福特汽车。
（福特汽车）
每个人都拥有福特汽车（或克莱斯勒）的模式来源于一个简单的规则——选择你遇到的前三个人所拥有并对它感到满意的车，再加上正反馈对一个机遇波动的作用——前三个人碰巧都拥有同一品牌的车。
正反馈不是导致“失控”效应的唯一原因。连锁反应也可能引起失控效应，例如詹姆斯·瑟伯在《大坝崩溃的一天》中描述的连锁反应。没有什么值得恐慌的理由，只因为看到一个人在奔跑，俄亥俄州哥伦布市东部的全体市民便都迅速逃离一个并不存在的潮汐。瑟伯和他的家人也在奔跑的人群的那个中。瑟伯说“在开始的800米，几乎城里所有人都超过了我们。”一个惊慌失措的市民甚至听到了身后奔腾而来的洪水声，后来才发现那是旱冰鞋的声音。
（詹姆斯·瑟伯）
恐慌源于第一个人的奔跑，这使其他人也开始奔跑，每看到一些人奔跑，更多的人便开始奔跑，以此类推。这个过程会一直持续下去，直到所有人都开始奔跑。原子弹的工作原理与此相同：一个原子核的衰变会释放高能中子，这些中子都有足够的能量分解它周围的原子核，而每一个解体的原子核会释放足够的中子，然后造成更多原子核的解体。持续的级联会导致中子数量及被释放的能量总额快速成倍增长，直到发生巨大的爆炸。
连锁反应
连锁反应用来形容相关的事物发生相应的变化。例如，一个人奔跑造成的恐慌社会让其他人也跟着奔跑，直至所有的人都开始奔跑。
需要指出的是连锁反应并不总是“坏的”，例如，我们能够复制出多份DNA的能力便是一种重要的生物过程，这一复制过程取决于一种被成为聚合酶链反应的生物连锁反应。
在核电站中，连锁反应是通过将镉杆插入分解材料中来控制。镉杆可以吸收足够数量的中子，以组织连锁反应的发生，并实现能量的受控释放。复杂性科学的重大发现之一便是，通过引入负反馈来抵消连锁反应和正反馈的失稳效应，以使类似的稳定效果可以出现在很多社会情景中。该结果是一个带固有稳定性的复杂动态模式，同时也拥有进化和增长的潜力。
负反馈
负反馈通过维持现状来发挥其平衡作用。一个简单的例子便是发动机上的调节器：当发动机加速时，调节器将逐渐降低燃料供给的速度，以保证发动机不会失控。
负反馈通常被用来“纠正”错误。当一个错误出现时，现状的改变将启动一个反馈程序，旨在纠正错误。例如，在驾车时，你开始稍微向某一个方向偏移，你的大脑就会自动应用负反馈促使你转动方向盘，以便将你引回正确的方向。而“正反馈”则会逐步放大微小的影响，它会让你转动车轮，使车子更加偏离方向。
在经济学，亚当·斯密的“看不见的手”的概念讲述了市场具有自我调节性，总能在受到干扰后恢复平衡。这一概念就建立在市场制度中存在负反馈的观念之上。正如我们所看到的，现代复杂性理论发现，在实际情况中，事实远不是这样，复杂的经济系统是由正反馈和负反馈的错综复杂的平衡，以及偶发的连锁反应所支配的。
（亚当·斯密）
负反馈
负反馈是指受控部分发出反馈信息，削弱控制部分的活动，它通常被用来“纠正”错误。
集体适应性的8大标准
平衡最终取决于个体之间的互动规则，这些规则在技术上被称为“行为算法”。要了解群体智慧这样的共同属性，必须回答两个关键问题：确定动物个体（包括人类自身）遵循的互动模式，以及动物之间信息交流的方式。
（约翰·米勒）
对于一个具有集体适应性的群体（例如，群体智能中所展示的，作为一个整体的群体可以应对变化的环境），集体本身的非线性规则通常不够重组。复杂性理论家约翰·米勒和斯科特·佩吉，依照并怀着对佛教八正道的敬意列出了集体适应性的8大标准：
正见：一般而言，群体中的个体（复杂性科学称之为“媒介”）必须能够接受和理解来自群体或世界上其他个体的信息。
正思维：媒介必须有想要实现的某个目标。例如，一条鱼可能希望避免被吃掉，而人则可能希望通过共同努力来实现政治变革。
正语：媒介不仅要能接受信息，还要能传递信息。这并不需要设计真正的言语。例如，黏液菌阿米巴虫所共有的细胞通过传递化学信息进行交流，而人类大脑中的神经元则通过电脉冲实现沟通。
正业：媒介必须能够在一定程度上影响其相邻媒介的行动。
正命：媒介必须能够因其在团队中的行动，获得一定的“回报”，如完成任务后获得薪水；或在任务未完成时收到惩罚的威胁，如解雇。
正精进：当预见并对他人的行为作出回应时，媒介需要可以利用的策略。
正念：合理的行动分为很多种类和等级。在复杂的社会中，我们作为一个媒介的任务是选择并使用每一种合理的、正确等级的行动。
正定：为了了解复杂性是如何出现的，我们有时候需要回过头来使用一些旧的科学方法，专注于一到两个重要的过程，暂时忽略其他过程。
（佛教八正道）
其他研究者也制定了类似的标准清单。作为整个领域发展的基础的第一个标准，是约翰·霍兰德在1994年的演讲《化繁为简》中提出的。除了媒介之间的非线性相互作用之外，霍兰德认为，作为一个整体的群体还需要：
聚集：个体媒介需要通过某种方式联系在一起。
流动：群体内的媒介之间必须传递一些东西，可以是信息，也可以是更物质的东西。
多样性：并非是必要条件，但往往是一个费用有用的条件。
（约翰·霍兰德）
个体媒介还需要有一些特定的能力：
它们应该能够识别其他个体并能够作出回应。
在某种程度上，它们应该能够预测一个特定行动可能产生的效果。如果是细菌，那么这种“预测”可能只是一种相当于“如果顺着这个化学梯度一直向上游，我就可以寻找到食物”的本能；如果是鱼群中的一条鱼，这种“预测”则可能相当于“靠边游可能不是一个好主意”这样的概念，因为这可能会使自己与相邻的鱼发生碰撞。
它们应该像拥有内在的图像（要么通过学习获得，要么通过硬性连接获得）一样行动，将它们的感官经验同以往的经验联系起来，当相关经验发生时，用来阴道它们的行为。
动物行为专家大卫·桑普特提出了一份与社会性动物的共识行为尤为相关的、略有不同的清单。桑普特的标准如下：
个体可变性：群体中的所有动物都以同样的方式作出回应，这有时是一种优势，但也可能会导致灾难。例如，如果蜂群总是在同一个地方收集同一种食物，那么群体的营养需求（范畴）可能无法得到满足。
响应阈值：当超过某个特定阈值时，对刺激作出的反应行为可能会改变。例如，当蜂巢的温度过高时，大黄蜂就会选择扇动翅膀的行为方式。
不会像电脑一样发生冗余：“昆虫社会从来没有崩溃过。”这在一定程度上是因为昆虫群是由大量的替换单元组成的，所以，如果有个别昆虫个体死亡或离开，群体的功能也不会完全丧失。
同步：正如进行中的蝗群和军队所知道的，同步有其他优势。当个体走乱步伐时，负反馈变回帮助他步入正轨。一些蚁群使休息和活动同步。在活动阶段，如果正反馈增强了其效率，则群体将获得净收益。
自私：群体智能和其他复杂性行为的最终优势在于，群体中的每个个体都得到了在单独行动时无法获得的好处。但是博弈论将此作为一个难题提出：为什么不通过作弊来获得更多的利益？这个逻辑是可行的，直到该群体的所有成员都采用这一逻辑，然后所有成员一起失败。
（昆虫社会-蚂蚁社群）
不管怎样，要想用个体互动规则带来有益的、复杂群体行为，必须打破这种逻辑僵局。
往期学习链接：