引力为什么没有被成功量子化？- 大数跨境

两江科技评论

2018-10-16

导读：一直以来，调和量子力学和引力之间的矛盾是物理学家面临的挑战，最近发现量子信息里出现的一些概念，例如量子纠缠和量子纠错，对于理解量子引力起着最基础的作用。

一直以来，物理学家面临的挑战是调和量子力学和引力之间的矛盾，最近发现量子信息里出现的一些概念，例如量子纠缠和量子纠错，对于理解量子引力起着最基础的作用。

在爱因斯坦提出广义相对论一个多世纪之后，如何给出和量子力学自洽的引力描述依然是一个谜团。为什么引力的量子化如此困难？有证据表明，问题不仅仅是技术上的困难，而是有一些深层次的物理起源。正如Bekenstein和Hawking所指出的，为了保证黑洞引力系统的热力学第二定律成立，黑洞应该具有熵，其中A是黑洞视界面积，G是牛顿引力常数。热力学第二定律暗示了黑洞熵的面积定律，相同大小区域内所有可能物质状态熵的上界。另一方面，熵是独立自由度数量的度量。因此，任何具有局部自由度的理论，例如量子场论，都意味着最大熵应遵循体积定律。显然，这之间存在着一个尖锐的矛盾。

1、全息原理

为了解决这个问题，’tHooft和Susskind提出了全息原理。全息原理是弦论与预期中的量子引力的性质之一，描述了一个空间的性质可编码在其边界上，例如事件视界的类光边界。全息原理的灵感来自于黑洞热力学，黑洞热力学推测任何区域的最大熵数与半径平方呈比例关系，而非半径立方。全息原理观点认为：所有落入黑洞的物体信息内容可能会被完全包含在事件视界的表面涨落。

1997年，马尔达西那提出了Ads（反德西特时空）/CFT（共形场论）对偶，打开了一扇通往量子引力的新大门。AdS/CFT对偶在某程度上成功解决了黑洞信息佯谬，因为它能表明黑洞的时间演化是如何能在某程度上遵行量子力学。如图1a，假设这个对偶是准确的，所有边界的性质应该有一个体的描述。体理论是从边界理论演生的全息投影。自由度的数目由边界理论的像素数目决定。演生的方向对应尺度，例如越靠近体的内部的物体对应于边界有着更大的尺度和更低的能量。自由度的数目由边界理论的像素数目决定。演生的方向对应尺度，例如越靠近体的内部的物体对应于边界有着更大的尺度和更低的能量。如图1b,区域A的纠缠熵由极端曲面的面积决定，通过先将A变形进体中，然后寻找面积函数的鞍点得到。如图1c,对于一个黑洞几何，RT面限制在边界和视界之间，因此具有和区域A的体积成比例的面积。尤其是，Ryu和Takayanagi提出的边界区域A的纠缠熵由决定。形式上和黑洞熵一致，但是黑洞视界面积换成了和区域A相关的极端曲面的面积。在这个边界理论中，有着不同纠缠结构的态具有不同的时空几何。

图1：全息对偶和RT公式的图形描述

2、量子纠错的局部性

如果全息对偶精确成立，在体引力理论中，每个状态都对应于边界理论的唯一状态。可以考虑一个在位置x上远离边界的电子波包（图2a）。基于对偶知道可以从边界得到这个电子的自旋量子比特。例如，自旋的z分量应该对应于边界上的一个算符，原则上是可以测量的。但是，这似乎和局域性是不自洽的。既然边界理论是相对论的，没有信号可以超光速传播。因此，如何能够站在边界上瞬时的测量并旋转在中心的自旋呢？

Almheiri,Xi Dong和Harlow在一篇文章研究中解决了这一矛盾。基于局域重构的方法（local reconstruction），他们提出体中的自旋只能够通过一个定义在足够大边界区域的算符得到，例如图2a，在体中位置为x的量子比特并不能通过任何边界处很小的区域获得，信息可以通过大区域例如B来得到，因为信号传播的时间是有限的，它可以翻译到量子纠错，体的量子比特是被保护不受到边界处局域错误的影响。

根据这个类比，两个边界态对应于两个体自旋的态，可以被认为是一个体量子比特到边界系统的映射。量子比特不能从一个很小的边界区域构造，确保了存储的信息在边界系统出现错误的情况下是不受影响的。体中的局域性是由编码映射的量子纠错性质带来的。QECC (quantum error correction code)的性质，也和RT公式有着紧密联系。粗略的说，RT熵是允许QECC出现所需的“纠缠资源”。

图2: 从边界获取体中的量子比特和量子纠错的类比

3、张量网络

基于这个关于局域性的新理解，如何进一步推进研究？ RT公式和QECC的性质是正在寻找的一个非常特殊的理论，还是一大类模型都满足的一般性质？实现这些性质的关键是什么？为了获得更多的理解，构建具有相似性质的玩具模型。从Swingle的工作开始，已经设计出了一大类叫做张量网络的玩具模型。从历史上来看，张量网络在凝聚态中作为强关联系统中的变分波函数被广泛使用。和Swingle的工作相关的网络叫做多尺度纠缠重整化试验态（MERA），最初由Vidal提出。

张量网络提供了一种数学工具来理解纠缠是如何分布满的，时空是复杂系统中的一系列相互关联的节点。一个张量网络态的构造，首先构建一些EPR纠缠对，然后通过一个纠缠的基底测量一些量子比特。测量后的量子比特现在处在一个纠缠的纯态中，它们将剩下的量子比特粘成了一个更复杂的纠缠态。用这种方法，即使每个节点只让几个量子比特纠缠，也可以构造复杂的量子纠缠。

将张量网络和全息对偶相联系是很自然的，因为张量网络的纠缠熵是通过它的图几何控制的。例如，图3b展示了区域A B有着相同的大小，但是A比B有着更多的纠缠熵因为有更多的EPR对传递着A和它互补区域的纠缠。一般来说，如果每个EPR对最大纠缠了两个量子比特的D个态，那么A的纠缠熵就由将A和它的补区域分隔开的最小切断的数目，乘上一个因子logD 作为上限。如果实际的熵和这个上界成比例，则RT公式成立，这并不是对每个张量网络都成立的。

图3: 张量网络态和编码的体量子比特

4、动力学和混沌

既然几何是纠缠结构的一种表现，由爱因斯坦方程描述的几何动力学，应该和纠缠的动力学相关。在一些关于共形场论的基态附近小扰动的情况下，Van Raamsdonk 和合作者从RT公式中推导出了线性的爱因斯坦方程。如图4，态的熵通过RT公式和极端曲面的面积相关，线性爱因斯坦场方程将极端曲面和边界的能动张量分布联系起来。另一方面，共形对称性允许我们将能动张量和关于真空小扰动的纠缠熵联系起来。因此，极端曲面的面积和边界的能量动量分布相联系，这正好等价于线性爱因斯坦方程。爱因斯坦方程的推导对于其它的背景几何也是成立的（对应于偏离CFT真空的态），但是证明还没有被推广到那一步。

图4: 纠缠，体几何和边界的能动张量的关系

对于一般的几何，我们从边界的角度还不理解其动力学，但是体中的引力动力学的一些方面，对于边界给出了一些有趣的理解。考虑一个体中的黑洞几何，它对应于边界上的一个热态。考虑两个粒子a，b，在黑洞附近散射，b粒子向着边界跑（图5）。为了到达边界的时候有一个有限的能量，b在近视界的时候要有大得多的能量。散射越靠近视界，b的能量随着它接近视界就会越大，b到达边界就会越晚。从边界的角度来看，如果我们写下两个粒子的湮灭算符a(0) 和b(0) ，近视界的散射效应翻译成了一个随着时间增加的对易子。指数增长实际上在所有的量子系统中是最大的，因此全息理论不只需要是混沌的，而且还是最大混沌的。一个具有最大混沌的精确模型最近被提出并广泛研究，它叫做Sachdev-Ye-Kitaev模型。

图5:两个粒子a,b在黑洞视界附近的散射

算符扩散也和上面提到的QECC的性质有关。当一个量子比特扔进黑洞视界的时候，它变得越来越难以接近，因为其对应的边界扰动变的越来越非局域了。可以说边界混沌的动力学提供了QECC，用来保护体中的量子信息，藏在黑洞视界后面的信息则被保护的最好。这自然的导致了许多进一步的问题：当量子比特撞到奇点时会发生什么？如果我们可以在边界上做非局域测量，藏在视界后面的量子信息从边界处可以得到吗？如果可以，如何让这个观点和体中的因果结构以及一个跨视界光滑的几何是否自洽？与黑洞信息悖论相关的问题，还有许多有待解决，例如火墙悖论。

5、量子引力

量子信息理论中发展而来的概念，例如纠缠熵和量子纠错，从基础上描述了时空。其它关于量子力学的基本概念，例如量子电路的复杂度，被认为在黑洞动力学中具有引力对应。我们的目标是精确描述时空几何和引力是如何从多体态的量子信息特征中演生出来的。如果猜想量子引力理论，依然有两种不同的可能：引力可能是完全从量子力学中演生出来的现象，这意味着量子力学是描述世界最本质的理论，可能会发现为了描述AdS背景之外的引力，需要脱离量子力学，引力和量子力学是一个不同近似的基础理论。

文章链接

https://doi.org/10.1038/s41567-018-0297-3

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