本文导读：
1， 欢迎加入香港浸会大学马冠聪老师课题组；
2， 猫哥的拓扑之路；
3， 一维模型的Zak phase计算；
4， 二维模型的陈数计算；
5， 二维valley type光子晶体的Berry Curvature；
一、欢迎加入香港浸会大学马冠聪老师课题组
模数哥按：作为COMSOL杂货店最资深的特约编辑，猫哥贡献过一些超级硬核的帖子，如声学拓扑- 2018 Nature 外尔晶体中声表面波的拓扑负折射，也指导模数哥写过：声学拓扑-2016 Nat. Phys. 基于能带反转的声拓扑绝缘体(专为猫哥写的广告帖)。在开始猫哥的雄文之前，模数哥要隆重介绍猫哥正在博后的马冠聪老师课题组，马老师不仅是科研达人，也是运动健将，现在是香港浸会大学物理系助理教授，研究兴趣包括声波超材料，声子晶体，声拓扑，非厄米系统等相关的经典波现象，欢迎各位有志青年前来学习、工作和交流。课题组网站：www.acoustmeta.com，翻到本文最后，查看招生具体信息。
二、猫哥的拓扑之路
要说当今物理里面最火的，还是凝聚态；凝聚态里最火的，就是拓扑。我在南大读研那会儿，是靠光子晶体、声子晶体起家，那时拓扑在凝聚态领域已经大热，基于光子晶体的拓扑也有一阵风了。当时组里面有个同学就做光子晶体拓扑，在国内已经算是很早的了。每次听他报告我都是云里雾里，诚然他做报告的水平已经是公认的很好了，奈何当时自身水平太低，也无心学业，枉费老师师兄们营造的良好环境，哈哈~也怪校园处于闹市，周边花花世界太精彩。后来放飞自我的留学生涯中某天又重拾某位物理系女神给的计算陈数的小代码，把玩一番后三月不知肉味，开始正式走上了这条不归路。
拓扑离不开边界态和拓扑不变量。如果谈可操作性的话，可以通过计算超原胞看出边界态来，但是拓扑不变量的计算就不是那么容易了。大部分情况下，人们提出的做拓扑光声的系统是对应于某个紧束缚模型，或者其简并打开这个过程可以用紧束缚模型去描述，而基于紧束缚近似可以很好地去计算拓扑不变量。另外也可以利用高对称点的态的对称性去辅助判断。所以一直以来，猫哥都很少用COMSOL直接计算，因为这确实是个大坑，难点主要在于算一遍时间久，debug难度大。但是最近越来越多的模型很难直接match到紧束缚，而其中的物理内涵也需要通过直接对COMSOL波函数进行诸如算wannier center的骚操作去揭示，所以用COMSOL算各种拓扑不变量还是很有必要的。
三、一维模型的Zak phase计算
拓扑不变量多如牛毛。最常见的是一维有Zak phase，二维有Chern number。其算法有一定相似性，本质上都沿着闭合曲线或者曲面的积分。积分内核长这个样子：
〈ψ_n (k)|i∂_k |ψ_n(k)〉
这是个矢量函数，一维情况下的通常就是沿着某个闭合曲线做线积分。二维情况下就是∇k×作用一下得到标量函数再面积分。如果用COMSOL来计算这个的时候，就是涉及到对不同求解参数下的本征值之间的交叠积分，这里还是有很多细节的：
1．理论上波函数要归一化，声学系统光学系统里面归一化的方式有些许的差异。但是实际上我发现归一化或者不归一化结果也没影响。当然下面的计算还是归一化了的。
2． COMSOL的波函数和基于紧束缚近似写的哈密顿量h(k)的波函数有差别。
3，为了方便调用COMSOL的波函数，个人推荐comsol link with matlab，在matlab里面用COMSOL自带的函数调用模型的解。这个方法的难点在于让系统准确地识别符号语言与数值的区别，好处是报错比较快。
其中以一维为例，武汉大学的肖孟Meng Xiao 教授2014年在港科大求学时曾有一篇PRX文章，Surface Impedance and Bulk Band Geometric Phases in One-Dimensional Systems，里面提到过一个光子晶体模型，其中第三条带的Zak phase为1，用这个模型来debug，再合适不过了。猫哥试了一把，是真π(原文Fig.1b):
该一维光子晶体的第三条带的Zak phase 为π.
如果仅有一个”π”字，在文章图里即使标得再大，也不令人信服。因为有很多种方法可以推断出这个带的Zak phase是π，如果你直接跟审稿人说是用COMSOL算的，审稿人估计也不太信，所以我们得掏出点更可视化的数据。
四、二维模型的陈数计算
下面再讨论一下Chern 绝缘体的陈数计算。其实Chern 绝缘体的陈数，可以有好几种算法，比如用类似于前面一维案例的操作。首先我们定义两个可以覆盖布里渊区的矢量ka, kb，对ka上的每个点，算沿着kb的积分可以得到一个数，用这个数对ka画图，就会出来很有物理味道的结果，把它放在文章里面，就可以实锤地说明咱们确实算过，没有偷懒。Zheng Wang教授和Y. D. Chong教授2008年发表在PRL上工作Reflection-Free One-Way Edge Modes in a Gyromagnetic Photonic Crystal，是光学拓扑的milestone [模数哥按：咱们最近也有重复Y. D. Chong教授早年工作：光学拓扑-2013 PRL 基于环阵列耦合的拓扑绝缘体]，以这篇文章的二维光子晶体为例，给出如下结果：
原文Fig.2二维YIG光子晶体，其第二条带与第三条带的Wilson loops.
这样一来，内行人就很清楚了，我们可以计算其每个固定k的“Zak phase”,从结果来看斜率和陈数正负有关系，绕圈多少（突变）则代表了陈数是多少。这个算法似乎可以总结为研究Berry curvature的线积分。根据定义，陈数也可以通过Berry curvature的面积分计算。离散计算Berry curvature的方法也不是那么直观，有篇日本人写的参考文献被引用了500多次。再一番小操作。可以得到这两个图，积分积一下，可以发现结果恰好是1和-2. 笔者用的离散点是20乘以20，最后得到的结果是1.0000与-2.0000，精度惊人，说明这个离散计算还是收敛很快的。
第二条带与第三条带的Berry Curvature.其积分分别为1和-2.
五、二维valley type光子晶体的Berry Curvature
二维系统中也有很多陈数为0的拓扑相，比如valley。Valley的总陈数为0，但是在k点或者K‘点有非零的berry curvature分布，而且这两个分布恰好相反，如果将k点或者k‘点附近的Berry curvature积分，结果就是1/2或者-1/2. 下图就是一个简单的通过打破空间反演对称性实现的valley type的光子晶体。
简单的二维石墨烯结构光子晶体，两个sub lattice具有不同半径的圆柱，其第二条带Berry Curvature在K与K‘点分别具有非0的Berry curvature.
介绍了这么多拓扑不变量的计算，下面是一些点评：
1，通过Valley系统里整体积分为0局部非0的Berry curvature来看拓扑，这个方法似乎比较局限于valley 系统。
2，Berry curvature这套还可以算Weyl point, 因为Weyl point的Charge是整数，但是似乎收敛性一般。
3，但是1维Wilson loop绕圈可以算很多体系的拓扑。比如nodal line和高阶拓扑绝缘体。二维系统中，看Wilson loop的算出来的类似于图2的结果，隐藏着很丰富的信息。这个方法可以算孤立的带，可以算简并的带，可以孤立加简并的带一起算。里面琳琅满目种类繁多看的人是云里雾里。图2显示的是很直观的绕了几圈，还有很多相当不直观犹如天书的...
4，这里面值得注意的是胡晓老师提出的模型（PRL 114, 223901），要想用COMSOL把这个系统的拓扑不变量的故事算的明明白白，还是很有难度的。说来惭愧，我还在胡老师组里进修过一年，发现这个模型深似海，每当觉得自己吃透了的时候，又出来新的理论去研究它...然后我又看不懂了~计算这个模型的拓扑留待下次讨论吧。
5，COMSOL计算拓扑不变量，19年苏州大学蒋建华老师发了篇NJP里面讲的也很详细，有兴趣的话可以参照重复一下。
招 聘 信 息
马冠聪博士课题组现招收成员。具体可为硕士、博士研究生，研究助理，和博士后研究员。
❖ 研究生：录取的学生将得到约每月17000港币的奖学金资助(至少保持三年)。申请者需：
• 已获得或拟于2020年7月前获得物理、声学、材料、电子工程等相关专业的本科或硕士学位；
• 对科研具备热情，有较强自主学习能力；
• 于2020年5月前获得以下任意一项语言能力认证：
o 托福550 (笔考) 或79 (机考)；
o 雅思6.5；
o 大学英语六级500分，及口语考试B。
❖ 研究助理：合同可为半年或一年，月薪约15000港币(具体可谈)
❖ 博士后：合同一年，根据课题进展和实际表现可续约，月薪不少于23000港币(具体详谈)
马冠聪博士，现于香港浸会大学物理系任职助理教授。研究兴趣包括声波超材料，声子晶体，声拓扑，非厄米系统等相关的经典波现象。多次在国际顶级期刊Nature Materials, Nature Physics, Nature Communications, PNAS, Physical Review X, Physical Review Letters等发表文章约20篇，并于2016年在Science Advances发表关于声波超材料的综述，于2019年在Nature Reviews Physics发表关于拓扑声学的综述文章。马博士的近期工作亦被Physics Today等著名刊物广泛报道1。在国际著名会议META，PIERS等做邀请报告10余次，并担任META，Metamaterials等国际知名会议声波超材料和声子晶体分会场的组织者和会场主席。更多信息请见课题组网站：www.acoustmeta.com.
马博士的主要研究成果有：
• 利用薄膜超材料(1) 实现多种新颖现象，包括声波双负参数 (2)、全吸收 (3)、3D亚波长聚焦 (4)等；
• 通过固态弹性波超材料实现流体的弹性波性质 (5)；
• 利用声子晶体首次实现声波的拓扑相变 (6)；
• 首次在实验上实现非厄密系统中的高阶奇异点 (7)；
• 首次实现“声波空间调制器”，并实验上实现对混响声场的操控 (8)。
欢迎有意向者联系马博士。请将简历CV及成绩单发至 phgcma@hkbu.edu.hk.
后记：欢迎各位朋友加入Comsol交流群（QQ群号366619650）：
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