撰文丨宋万鸽
近年来，拓扑光子学的研究逐渐兴起，其中具有拓扑保护性质的光学拓扑态有望在鲁棒的光子器件的开发中起到重要作用。目前，人们已经在多种体系，如光子晶体、纳米柱阵列、波导阵列中发现了多种多样的光学拓扑边界态，如高阶拓扑态、非厄米拓扑态，以及周期性调控的Floquet拓扑态等。在这些研究中，拓扑边界态的出现往往需要人们构建一个拓扑相变的界面。根据体边对应关系，拓扑相变的界面处会存在局域的拓扑模式，然而反之，拓扑模式的存在是否一定需要拓扑相变呢？
近日，南京大学李涛教授、祝世宁院士研究团队在《人工晶体学报》发表了题为“Floquet规范转变诱导拓扑π模产生的理论分析”（第一作者：宋万鸽）的研究论文。作者在理论上证明了存在一类不依赖于拓扑相变，而是由人工规范场相变诱导产生的拓扑π模。文章通过将Floquet系统与Jackiw-Rebbi模型进行类比，阐明了Floquet规范的物理内涵，拓展了拓扑光子学系统中的人工规范效应的研究。
论文题录●●
宋万鸽,祝世宁,李涛.Floquet规范转变诱导拓扑π模产生的理论分析[J].人工晶体学报,2021,50(7):1340-1347.
SONG Wange, ZHU Shining, LI Tao. Topological Origin of π Interface Modes Induced by Floquet Gauge Transition[J]. Journal of Synthetic Crystals, 2021, 50(7): 1340-1347.
//文章导读
考虑在一个光波导阵列当中实现周期性驱动的Su-Schriffer-Heeger(SSH)模型。如图1(a)所示，波导之间的间距随着传播方向z而周期性地发生变化。根据波导阵列的亥姆霍兹方程与薛定谔方程形式上的一致性，波导的传播方向对应于时间。因此，将波导进行周期性地弯曲可实现体系的含时调制。如果假设波导弯曲调制满足正弦型调制，即x0(z)=A cos(2π/Pz)，那么波导之间的间距满足d(z)=d0±A cos(ωz+φ)，这里d0是波导之间的平均间距，z为传播方向，A为弯曲幅度，ω=2π/P为弯曲频率，φ为弯曲的初相（这里φ=0），即所谓的Floquet规范。波导之间的耦合系数c随z变化的关系可以近似写为c(z)=c0±δc cos(ωz+φ)，其中c0是波导之间的平均耦合系数，δc是耦合系数的最大变化量。可以看到，c是具有周期性的，在一个周期内，最强、最弱的耦合系数分别为c0+δc和c0-δc。前人研究表明，这种周期性驱动的SSH模型可以支持拓扑π模式的存在，如图2(a)所示，在体系的边界上具有局域的场分布。这里π模的出现对应于拓扑非平庸相。值得一提的是，体系是否处于拓扑非平庸相与调制频率和耦合系数有关，而与Floquet规范无关。
图1 (a)波导阵列中周期性调制的SSH模型示意图;(b) Floquet规范转变界面示意图
下面，考虑把两个具有不同Floquet规范的阵列拼在一起，形成一个Δφ≠0的界面，如图1(b)所示（这里左边阵列φ1=φ0=0，右边φ2=φ1+Δφ=π，其他参数一致，Δφ是左右阵列的规范差）。虽然两个阵列的拓扑相是相同的，即该界面处是没有拓扑相变的，但是如果φ2=φ1+π，即Δφ=π，计算表明在该界面处会由于Floquet规范的转变而出现π模，如图2(b)所示，可以看到界面处也出现了局域的场分布。
图2 (a)周期性驱动SSH模型中π模的场分布;(b)具有Floquet规范转变的π模的场分布。总波导根数为80，Floquet规范转变界面位于第40根波导附近
为了解释规范相变引起拓扑态的物理机理，可以采用Floquet理论来处理该周期性驱动的系统。Floquet理论可以将一维时间周期问题转换为二维时间无关问题，除了原来的空间维度i之外，另一个人工维度由Floquet指数n构成，又称Floquet复制带，第n个Floquet复制带的准能量会出现nω的偏移。为了研究Floquet规范转变的影响，仅考虑n=1和n=0之间的两个相关Floquet复制带，如图3(a)所示，给出了该体系的准能谱图，其中包含四条能带，其中在中间两条带之间形成了π能隙。该π能隙位于k=k0附近，能隙大小为Δπ，如图3(b)所示。经过计算可以发现，在k=k0附近，能带的有效哈密顿量可以写成类似于狄拉克哈密顿量的形式HFD：
其中k0和Δπ可以近似表示为：
,
。I2×2是单位矩阵。Floquet-Dirac质量项为mπ=(Δπ/2)e-iφ，其中φ即为Floquet规范，在这里充当质量项的相位。特别地，如果Floquet规范反向，即φ→φ+π。则质量项mπ→(Δπ/2)e-i(φ+π)=-(Δπ/2)e-iφ=-mπ将获得相反的符号。若两个阵列的Floquet规范分别为φ1和φ2(=φ1+π)。则该系统具有相反的π能隙质量项，即mπ1= -mπ2。尽管两个阵列的都具有非平庸且相等的拓扑相，但Floquet规范相变会引起的相反的π能隙质量项，因此根据Jackiw-Rebbi模型，在质量项反转的界面处会出现拓扑局域模式，即所谓的规范相变诱导的π模式，如图3(c)所示。
图3 (a)动量空间中的准能量谱，其中仅考虑两个复制带（n=0，1）;(b)形成π能隙的准能量谱。黑色加粗虚线是通过在k=k0附近保留k的一阶近似并假定δc/c0→0得到的;(c)Floquet规范相变诱导π界面态产生的示意图
//主要结论
本文对于周期性驱动的SSH模型中的人工规范场效应进行了理论研究，发现了Floquet系统中规范场对于系统准能带以及拓扑模式的影响。通过构建出类似于Jackiw-Rebbi模型的哈密顿量，阐明了Floquet规范的物理内涵为π能隙质量项的相位，并揭示了Floquet规范转变诱导拓扑π模的产生机理，即Floquet规范转变会造成π能隙的质量项的反号，带来能带的翻转，从而在界面处诱导产生拓扑π模。本文提出的Floquet人工规范场调控手段丰富了拓扑光子学系统中的新效应研究，并为灵活调控拓扑态以及构建高性能的光子器件提供了全新的自由度。
相关研究得到了科技部国家重点研发计划、国家自然科学基金委、南京大学登峰人才计划等项目的支持。
通信作者●●
李涛，南京大学教授，博士生导师。南京大学首批“登峰人才支持计划”入选者，国家自然科学优秀青年基金获得者，香港“王宽诚”教育基金获得者，科技部中青年科技创新领军人才。研究领域为超构光子学与微纳光子集成，先后承担多项国家重大研究计划课题以及自然科学基金项目。曾获2007中国光学重要成果，2017年科学中国人年度人物，2018中国光学十大进展，2021年国际科学组织Vebleo科学家奖；在国际会议做邀请报告五十余次。在Nature及其子刊、Phys Rev Lett、Light Sci Appl、Nano Lett等刊物发表论文一百余篇，被引用4500余次，H指数34。目前担任Chinese Optics Letters的主题编辑，Science Bulletin的执行编委，Frontier of Optoelectronics编委，中国材料学会超构材料分会理事，中国光学学会光电技术专委会委员，江苏省光学学会微纳光子学专委会副主任。
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