综述：非厄米趋肤效应

撰稿|由课题组供稿

近日，南京大学固体微结构物理国家重点实验室、人工微结构科学与技术协同中心、江苏省功能材料设计原理与应用技术重点实验室、现代工程与应用科学学院的陈延峰教授、卢明辉教授课题团队回顾了非厄米趋肤效应领域的最新进展，并对这一新兴领域未来可能的发展方向提供了开放性的展望。相关工作以“A review on non-Hermitian skin effect”为题发表于期刊《Advances in Physics: X》。南京大学现代工程与应用科学学院副研究员张秀娟为论文的第一作者以及通讯作者。

在过去几十年里，非厄米物理学在非保守系统中蓬勃发展，带来了一些前所未有的现象，例如单向不可见性、增强的灵敏度以及新型拓扑特征（如体费米弧）等。其中，一种有趣的现象引起了人们的极大关注，即非厄米趋肤效应 （NHSE）。它描述了由非厄米性驱动的现象，即开放边界下系统的本征态表现出局域化的行为，与厄米系统中扩展的布洛赫波截然不同。本文回顾了NHSE的最新进展，从1D模型出发，详细阐述了NHSE的基本概念、物理意义等，并讨论了具有晶格对称性的非厄米系统的NHSE。接着将讨论扩展到二维和更高维度，同时还回顾了在长程耦合、赝自旋、磁性、非线性和晶体缺陷等额外自由度辅助下的NHSE。随后本文回顾了NHSE在实验方面的进展。最后，对未来可能的发展方向进行了展望。

1D NHSE

基本概念

首先，本文利用Hatano-Nelson（HN）模型来介绍NHSE的基本概念。HN 模型是单粒子、无自旋、具有非互易跃迁的1D非厄米格子，如图1（a）。图1（b）展示了周期性边界条件（PBC）下的能带结构，其显示非厄米系统的本征能量为复数，实部关于波矢k对称而虚部呈现非对称。此非对称性质正是系统非互易性的指标，体现非对称传输行为。在开放性边界条件（OBC）下，粒子积累在左边界，正如图1（c-d）所示的本征态分布。因为此积累和局域行为与导体中交变电流的趋肤积累有现象上的相似性，故被称为NHSE，局域模式被称为趋肤模式。NHSE深刻地改变了Bloch能带理论，非厄米系统的本征态不再是扩展的Bloch波，而以指数形式局域在晶格边界。

图1.（a）HN模型。（b）PBC下的能带。（c-d）OBCs下所有本征态的模式分布。

NHSE的解释

关于NHSE的解释主要有三种，第一种将NHSE视为虚规范场的效应，通常用于HN模型中非厄米离域和定向传输的早期解释。在虚规范场的情况下，粒子会沿着它们的轨迹累积一个虚相位因子，从而减少或增加粒子振幅。

第二种解释与奇异点（EPs）有关。在增益/损耗诱导的非厄米系统中，EPs处的本征值简并，常规EPs和高阶EPs分别如图2（a）（b）所示，与厄米简并点相比，其对参数变化更敏感。非互易诱导的非厄米系统中的EPs可以有效地遍历广泛的参数范围，高阶EPs的出现伴随着与系统尺寸有关的代数多重性，而几何多重性保持为1，如图2（c-d）所示。这表明在EPs处，所有的体态都简并，并在OBCs下指数局域于晶格边界，即非厄米趋肤模式。这种多态简并不仅会影响EPs附近的本征态，而且会对整个本征谱产生全局影响，导致大量的体态转变为趋肤模式（见图1（c-d）），只有远离EPs，NHSE才会逐渐消失。

图2.增益/损耗引起的二能级和三能级非厄米系统中（a）常规和（b）三阶EPs的示意图。（c-d）在OBCs下HN模型中出现的高阶EPs。

第三种解释基于能谱卷绕数给出了NHSE的具体表征，HN模型在PBC下的能谱形成环路，如图3（a）（厄米情况如图3（b）），卷绕数给出了复本征能谱环绕基点E_b的次数。OBCs下的本征能量不再形成任何环路，而是坍缩成弧线（图3（c）），相应的卷绕数为零或为病态。PBCs下非零的能谱卷绕数与OBCs下NHSE的出现具有对应关系，并通过广义布里渊区（GBZ）的新概念严格地建立了它们之间的关系，如图3（d-f）。非零卷绕数和NHSE具有共同的物理起源，即通过系统的非零载荷流。

图3.（a）t=1, 的HN模型以及（b）其对应的厄米系统在PBC下的能谱图。（c）在（a）中HN模型在OBC下的能谱图。（d-f）产生不同GBZs的几个非厄米模型对应的BZ和GBZ、PBC和OBC下的能谱、本征模式分布。

由对称性丰富的NHSE

考虑额外的对称性会带来可能与NHSE相互作用的新自由度，从而导致更新奇的物理和现象，例如传统“体边对应关系”的崩溃和缺陷边界态。如图4（a）是具有晶格对称性的最简单1D格子——SSH模型，图4（b-d）展示了周期性边界条件下的能带打开-闭合-再打开的过程，其闭合点恰巧对应着开边界条件下零能边界态的出现点（图4（e）），这就是 “体边对应关系”。在这个点上系统产生了拓扑平庸和非平庸的相变，出现了局域在链边界上的零能拓扑边界态（图4（g-i）），其局域性特征与具有布洛赫波特点的体态（图4（f））完全不同，前者受晶格对称性保护分布在1D链的两端，而后者扩散于整条链上。另一方面，当系统存在非厄米性时（如图4（j）所示），周期性边界条件下的能带闭合点（图4（k-m））与开边界条件下的拓扑相变点（图4（n））在参数空间的位置出现了偏差，这一偏差表明了传统理论中“体边对应关系”的失效，此失效可以通过GBZ来解决，定义在GBZ上的非厄米卷绕数能很好地确定非厄米拓扑边界态的出现。在非厄米调制下，本来在厄米系统中扩散的布洛赫体态在非厄米系统中变成了局域态，其分布趋向于链的左侧，这一现象就是NHSE（图4（o））。奇特的是，尽管拓扑边界态也发生了向链左侧趋肤的特征（图4（p-r）），但是与体态趋肤不同（只要存在非厄米性，体态趋肤就会发生），拓扑态的趋肤只有在非厄米性达到一定强度时才会发生；在非厄米性较弱的情况下，拓扑边界态还受晶格对称性保护，局域在链的两端。这一现象展示了能带拓扑（或晶格对称性）与非厄米性的竞争关系。

除此之外，还存在其他对称保护的趋肤效应，如  NHSE，其出现在遵循时间反演对称性的自旋系统中，具有Z₂不变量，使得一对趋肤模式局域于非厄米开链的两端，但是很小的对称性扰动都有可能会破坏  NHSE。

图4.（a）厄米SSH模型及其在（b-d）PBC和（e）OBC下的能谱图。（f-i）体态和边界态的模式分布。（j-r）与（a-i）相同，只是对应于非厄米SSH模型。

高维NHSE

将NHSE推广到更高维度，高阶NHSE意味着波函数局域在2D系统中的几何拐角处、3D系统中的铰链和拐角处、或以混合方式局域，这些都是高维中独特的非厄米现象。将 HN 模型直接扩展到二维和更高维度，如图5所示，更高的维度为控制非互易性提供了更大的自由度。如果仅沿一个方向施加非互易性，则NHSE会导致2D系统中的本征态局域在线边界处，3D系统中的本征态局域在面边界处。如果沿多个方向施加非互易性，则NHSE会导致2D系统中的本征态局域在拐角处，3D系统中的本征态局域在铰链或拐角处，从而提供多种波操纵方式。

图5. HN模型的高维扩展，橙色阴影表示趋肤模式的分布。

当高维类HN模型与对称性相结合时，趋肤模式将展示出多种变化。每个单元中有四个跃迁位点组成的2D方形晶格（见图 6（a）），将非互易性与手征对称性结合了起来。如图6（b）所示，当x和y方向上都考虑非互易性时，出现了类似于2D HN模型的角NHSE。如果非互易性在x方向被破坏性地抵消，则NHSE只出现在y方向（见图6（c））。当非互易性在两个方向上都被破坏性地抵消，从而导致净非互易性消失时，在完全OBC下再次观察到角趋肤模式，这是经历局部非互易的1D拓扑边界态形成的结果（参见图6（d）的拓扑边界态和图6（e）的角趋肤模式）。这些趋肤模式被称为混合趋肤-拓扑模式，相同的结果可被推广至三维。关于高阶NHSE的理论方面尚未完全清晰，还有待进一步探索。

图6.（a）2D紧束缚模型，其中NHSE表现为（b）两个方向上的非互易性的角趋肤模式和（c）当在x方向上的非互易性取消时的边界趋肤模式。（d-e）在两个方向上的非互易性都取消时的混合趋肤-拓扑模式。

具有额外自由度的NHSE

另一个研究趋势是探索NHSE与额外的物理自由度之间的相互作用，如长程耦合、赝自旋、磁性、非线性、晶体缺陷等。

长程耦合是丰富非互易性的重要工具，能产生许多有趣的NHSE现象。通过引入长程耦合可以出现双极NHSE，即趋肤模式出现在左或右链端取决于其本征能量。此效应是由于产生了两个本征能量卷绕方向相反的区域，如图7 （a）。通过操控长程耦合，能谱可以产生任意的绕组，如图7 （b-d）。其他自由度，如赝自旋、磁性、非线性、晶体缺陷等也会带来丰富的NHSE现象。

图7.（a）具有长程耦合的HN模型中扭曲的绕组及其双极趋肤效应。（b-d）通过操控长程耦合来实现多种绕组。

在实验方面，本文回顾了可能的实验平台、引入非互易的各种方式、NHSE的实验特征以及展现出的特殊NHSE现象。

图8（a）是利用光纤环路组成的1D光子晶格来证明NHSE的实验装置，由分束器进行时间调制以改变晶格位点之间的跃迁强度（见图8（b））。当调制有偏差时，系统变得非互易并且表现出NHSE，所有本征态指数地局域在界面处。基于这种NHSE现象，一种光漏斗被提出，它可以有效地将任何入射光引导至设计的界面，而与入射的形状和入射位置无关，如图8（c）所示，并在图8（d-f）中进行了实验验证。

图8.（a）光纤环路的实验装置图。（b）时间调制以实现非互易耦合。（c）利用NHSE提出的光漏斗示意图，其在不同的光输入下的实验测量结果显示在（d-f）中。

非幺正量子行走领域也能利用类似的光子时间调制技术，来实现非互易跃迁（见图9（a））。实验上设计了一种畴壁构型，观察到在非厄米性出现时行走者被动态地局域在畴壁处，这是NHSE在此量子系统中的表现。此外，通过直接观察到的非厄米拓扑边界态与定义在GBZ上的非Bloch拓扑不变量之间的一致性，进一步证明了非厄米体边对应关系。

在合成维度范围内也能实现光子中非互易诱导的非厄米性，其中环形谐振器中的多频模式被视为1D合成维度。模式间的耦合通过调制振幅和相位来控制，非互易性由失谐调制引起。通过使用此装置（如图9（b），环形谐振器（左图）和合成频率维度（右图）），具有长程耦合的类HN模型可以出现任意的非厄米绕组。

电路已被证明在模拟紧束缚模型方面非常合适，因为精制电子元件能够精确地模拟任意的跃迁，具有高可控性。通过使用电路，不仅在1D系统中证明了NHSE，而且在二维和更高维度中观察到了混合的高阶趋肤-拓扑模式和由机器学习设计的二阶NHSE。有关实验装置如图9（c-f）所示，通过引入单向耦合电容器来实现非互易性。

声学也能用来实验观察和探索新的NHSE现象。声学非互易性由有源DC电源驱动的定向放大器实现，其装置如图9（g）所示，可以观察到扭曲的非厄米绕组和双极趋肤效应。

图9.在多种物理平台里证明NHSE的实验装置，包括（a）量子行走，（b）光子合成维度，（c-f）1D、2D和3D电路以及（g）配备电子放大器的声腔。

在具有时间反演对称性的完全互易的无源系统中，也有可能实现NHSE。如图10（a）所示，该系统采用2D环形谐振腔设计，支持解耦的顺时针和逆时针回音壁模式。将损耗装置引入到连接环中，使得每个回音壁模式的传播是非互易的（如图10（b））。但整个晶格保持了互易性，即对于每一个顺时针模式传播，总有一个时间反演的逆时针模式传播与之对应。基于这种设计下，作者在2D上演示了Z₂ NHSE，伴随着局域在相反几何角上的顺和逆时针的角趋肤模式（见图10（c），与图10（d）中的厄米情况相对应），这也被称为贋自旋依赖的高阶NHSE。这种无源设计不仅应用于声学领域，还可以很容易地推广到光子学领域，其中光学谐振腔波导已被证明是成熟的材料平台。

图10.（a）2D倒格子的单元格，绿色区域代表有损耗区域。（b）每个顺时针和逆时针模式的非互易传播。（c）NHSE表现为贋自旋依赖的角趋肤模式。（d）作为比较的厄米情况。

在物理系统方面，经典系统和量子系统在 NHSE 的研究中都表现出巨大的潜力。光子学、声学、力学和电路已经利用它们的独有特性促进了特殊的NHSE，量子行走、冷原子和活性物质系统也正在展示各种非厄米现象方面蓬勃发展。特别是由于具有不平衡性质，活性物质系统已成为探索NHSE新功能的有力平台。

本文回顾了NHSE的最新进展，详细地展示了NHSE的基本模型、基本理论和物理、与对称性之间的作用、高维扩展、丰富的额外自由度以及实验进展。

NHSE未来可能的发展方向包括扩展至二维和更高维度、结合各种晶体对称性（包括点群和空间群对称性）、探索拓扑与NHSE之间的相互作用、结合各种物理自由度、探索实现NHSE的其他实验平台等。NHSE的可能应用包括单向放大器、高效能量收集、增强的可测量数量和自主机械机器人。

文章链接：

https://doi.org/10.1080/23746149.2022.2109431