撰稿|由课题组供稿
近日，中国科学技术大学的蒋建华教授课题组与中山大学叶鹏教授课题组合作，在宏观的一维和二维声子晶体系统中模拟了自由费米子体系的纠缠熵与纠缠谱，从实验层面验证了纠缠熵在不同条件下的标度律以及纠缠熵与纠缠谱的拓扑属性，为探测物态的纠缠行为与拓扑相变提供了新的手段。该成果以“Measuring entanglement entropy and its topological signature for phononic systems”为题发表在《Nature Communications》上。苏州大学物理学院博士生林志康、中山大学物理学院博士后周尧、中国科学技术大学物理学院博士生姜斌和苏州大学物理学院硕士生吴炳权为共同第一作者。中山大学的叶鹏教授和中国科学技术大学的蒋建华教授为共同通讯作者。其他合著作者包括中山大学物理学院博士生陈李梅、苏州大学硕士生刘啸宇和王力威。其中，蒋建华教授团队主要负责结构的设计和仿真以及实验的测量和数据处理。叶鹏教授团队的周尧博士后和博士生陈李梅主要贡献了理论的推导和数值计算。
信息，熵(entropy)，和纠缠(entanglement)在量子信息科学，宇宙学、材料科学、非平衡物理学等不同领域均扮演着越来越重要的角色。其中，纠缠体现了量子世界与经典世界的本质区别，而纠缠熵(冯·诺依曼熵)则是最常用来度量纠缠的物理量。它可以用于描述两个或多个量子纠缠态之间的关联程度，也能用于刻画纯态体系的子系统与系统其它部分纠缠的强弱程度，同时也是现代量子物理学中最核心的概念之一。并且纠缠熵定量地诠释了量子系统的量子纠缠和非局域关联，直接反映了复杂系统背后的普适规律，是提取量子临界系统、各种新奇量子态中有效物理信息的强有力工具。
在对纠缠熵的研究中，研究者总结出了一系列有用的结论。例如，对于有能隙的体系，纠缠熵的标度律(scaling law)服从于面积律(area law)：
，其中L是子系统的尺寸，d是其空间维度。而对于具有长程关联的无能隙体系，从场论的角度可以预言纠缠熵的面积律会带有log项的修正。对于更一般的多体系统，除了少数严格可解模型，严格理论证明和实验验证这些结论都是非常困难的。
为了简化问题，研究者往往从简单的谐振子体系或者自由费米子体系出发，来研究纠缠的普遍性质，这些系统同样能表现出丰富的纠缠物理。对于自由费米子体系，理论上可以利用其多体态的二次型特征而得到一系列严格结果。其中，对于具有(d-1)维费米面的d维无能隙的自由费米子体系，采用Widom conjecture这一数学猜想，可以严格证明其纠缠熵满足Gioev-Klich-Widom标度律：
，其正比系数与系统费米面的大小有关。
纠缠熵亦能反映量子多体体系基态波函数的拓扑性质，如拓扑纠缠熵。在发生拓扑相变时，纠缠熵的数值也会发生显著变化。另外，与纠缠熵单独的一个数字相比，纠缠谱理应包含更多的体态拓扑信息。Haldane大爷最早发现，多体系统中的低能纠缠谱与其拓扑边缘态的能谱类似。随后纠缠熵和纠缠谱被推广至能带拓扑理论中。纠缠谱的特征(简并度、零能模、卷绕数等)可以辨别整数量子霍尔效应、Z2拓扑绝缘体(如图1所示)、拓扑晶体绝缘体、高阶拓扑绝缘体等各种拓扑相。纠缠谱成为表征凝聚态系统拓扑性质和拓扑相变的有效理论工具。
图1 示意图：纠缠熵；Widom conjecture；纠缠谱与拓扑边界态的等价关系。
在这项工作中，作者将宏观的声子晶体系统类比自由费米子系统，通过测量声子晶体中的关联函数来模拟自由费米子体系的纠缠熵和纠缠谱，并且在实验上进一步验证了纠缠熵的Gioev-Klich-Widom标度律以及纠缠熵与纠缠谱的拓扑特性。具体而言，作者以一维SSH晶格和二维honeycomb晶格为例，利用3D打印技术设计了声子晶体实验样品，实验样品被虚拟地划分成子系统和其他区域。通过pump-probe探测技术测量声子晶体中各个点上的格林函数，并通过谱分解从而获得子系统的关联函数(如图2所示)。
图2 实验测量示意图
有了子系统的关联函数，通过求解关联函数的本征值便能得到实验上的纠缠谱，而纠缠熵则是关联函数本征值的函数。如图3所示，对于一维SSH声子晶体，不管是处于有能隙的拓扑相还是平庸相，实验测得的纠缠熵不随子系统尺寸的变换而变换。而当胞内的耦合半径等于胞外时，SSH处于无能隙的相变点，纠缠熵的标度律接近为
，其log修正与Gioev-Klich-Widom标度律一致，而正比的系数1/3也与共形场论所预言的值相吻合。对于二维honeycomb晶格，作者分别打印了有能隙和无能隙的声子晶体样品，研究了他们的纠缠熵随费米面大小变化的规律以及纠缠熵的标度行为，也均与理论预言的二维系统中的Gioev-Klich-Widom律
相符。
图3 实验测得的纠缠熵的标度律(左边对应声学SSH晶格，右边对应honeycomb晶格)。
在拓扑表征方面，对于一维SSH声子晶体，如图4左列所示，处于拓扑相时的纠缠熵随着胞内耦合的减小，逐渐收敛于2log2(理论预测的纠缠熵值)。而在平庸相时，纠缠熵随着胞内耦合的增大呈快速下降趋势。在拓扑相变点处，纠缠熵处于峰值。纠缠谱的拓扑特性更加明显，在拓扑相时纠缠谱能隙中多出两个简并模式，其绝热等价于一维SSH晶格的两个拓扑边界零能模。纠缠熵与纠缠谱的拓扑特征可以和传统的Berry相和拓扑零能模的出现与否一一对应，因此可以用来探测传统Berry相所表征的各种拓扑物态。对于二维的honeycomb晶格，狄拉克点是半金属能谱中拓扑与平庸相的分割点，实验测得的纠缠熵与纠缠谱具有一样的拓扑特征(如图4右列)。
图4 实验测得的纠缠熵与纠缠谱的拓扑相变(左列对应声学SSH晶格，右列对应honeycomb晶格)。
综上，本研究工作在声学实验上验证了自由费米子体系下纠缠熵的不同标度行为，以及发展了纠缠谱和纠缠熵对拓扑相与拓扑相变的实验探测手段。实验结果与声学仿真、理论预测很好得符合。特别的是，对于SSH-like型的拓扑相，其体边对应关系在体系没有手征对称性时可能缺失。而纠缠熵与纠缠谱的拓扑特征不依赖于体边对应关系，因此，纠缠熵与纠缠谱提供了一种更加鲁棒的探测拓扑相和拓扑相变的新途径。该测量方法也可以用来实验测量其他不同类型的拓扑相，且有望推广到例如冷原子系统、非厄米系统等体系中，去探索更多新奇的纠缠行为。该研究工作得到了国家自然科学基金、科技部国家重点研发计划的支持。
文章信息：
https://www.nature.com/articles/s41467-024-45887-8.pdf
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