撰稿|由课题组供稿
近日，瑞士洛桑联邦理工学院Romain Fleury教授和浙江大学陈红胜教授、杨怡豪研究员课题组合作，揭示了非互易幺正散射网络在双曲空间（一种曲率为负数的非欧空间）中的Floquet拓扑。在微波实验平台上，探索了其中蕴含的Anomalous/Chern手性拓扑波传输。并基于Laughlin’s pump argument，对双曲散射网络的散射拓扑不变量进行了直接测量，证实了Anomalous Floquet/Chern拓扑波的拓扑起源。该成果以“Anomalous and Chern topological waves in hyperbolic networks”为题发表在《Nature Communications》上。浙江大学陈巧璐博士、瑞士洛桑联邦理工学院张哲博士为共同第一作者。瑞士洛桑联邦理工学院Romain Fleury教授为通讯作者。瑞士洛桑联邦理工学院博士生秦昊烨、Aleksi Bossart博士，以及浙江大学陈红胜教授、杨怡豪研究员也为该工作做出了贡献。
非欧几何学起源于19世纪，研究具有非零空间曲率的几何结构。这一领域的发展打破了传统欧式几何学的公理和假设，标志着科学史上对宇宙理解的一个重大转折点。例如，双曲几何作为非欧几何学的一个重要分支，在广义相对论中发挥着关键作用：它阐述了空间-时间的几何曲率与引力效应的关系，并为探索黑洞等天文现象提供了理论支持。此外，双曲几何在数学、计算机图形学和信息理论等多个领域均有广泛应用。
图1 双曲非互易幺正散射网络。（a）双曲晶格投影至欧式空间，形成庞加莱圆盘模型。（b）双曲非互易幺正散射网络的庞加莱圆盘模型细节。
欧式晶格具有离散平移对称性，它的对易平移群支持布洛赫波的传输。同样地，双曲晶格也具备离散平移对称性。但与欧式晶格不同的是，双曲晶格的平移群是非对易的。这种非对易性引发了双曲晶格中动量空间结构异于欧式晶格的两个圆环，从而导致能带拓扑的新特性与拓扑分类，例如部分理论工作提出的双曲量子自旋霍尔效应、Chern绝缘体、高阶拓扑以及Haldane和Kane-Mele模型。
然而，已有的实验研究均集中在互易系统上，如电路等。这些系统受时间反演对称性的限制，无法实现真正的手性拓扑边界态，包括Chern拓扑边界态和具有强鲁棒性的anomalous Floquet拓扑边界态。此外，这些实验系统通常工作在准静态区域，由基尔霍夫定律描述，并未涉及拓扑波的本质。因此，双曲晶格中的手性拓扑波传输现象尚未在实验中得到实现。此外，尽管理论和实验上已经有一些引人注目的结果，双曲空间中的拓扑数并未在实验上直接测量；当然，拓扑数的直接测量对于欧式空间的拓扑系统本身就不平凡。
在本工作中，研究人员构造了基于非互易幺正散射波网络的拓扑双曲晶格。这种非互易幺正散射网络起源于Ho-Chalker 网络，并与Floquet系统一一对应。基于该对应性，研究人员探索并发现该双曲网络中存在两类手性拓扑边界态，分别为Chern型和anomalous Floquet型。通过理论计算其边界态的输运、态密度、局域化指数，以及Chern矢量和幺正同伦不变量，明确了这些边界态的双曲拓扑本质。在此基础上，研究人员在微波实验中成功观测到了这些单向传输的手性拓扑边界态。作为决定性的证明，研究人员基于Laughlin’s pump argument，在实验上构建了扭曲边界条件（Twisted boundary condition）, 进一步测量得到了表征双曲拓扑边界态的拓扑不变量，最终证明了双曲散射网络的非平庸拓扑特性。关于anomalous Floquet拓扑在双曲空间中边界态输运的强稳定性（强于 Chern拓扑）也在补充材料中进行了研究。
通过解耦物理距离与度量，研究人员将双曲晶格投影到二维庞加莱圆盘上（图1a），以此构建了一个基于非互易幺正散射波网络的{8,3}拓扑双曲晶格（图1b）。该双曲晶格由正八边形构成，其中三个正八边形在一个节点相遇。在散射网络中，每个散射节点由一个三端口环形器构成，环形器之间通过具有相位延迟φ的共面波导相连。每个节点的散射特性由一个3×3的非对称幺正矩阵S0描述。通过一般参数化幺正矩阵S0，发现其由两个角度参数ξ和η表征。换言之，通过调节ξ和η，能够得到具有不同非互易性和反射率的环形器。
接下来，研究人员通过将布洛赫定理拓展至双曲空间，得到了{8,3}双曲晶格的单元结构和布拉菲晶格（{8,8}双曲晶格）。同时，定义了布洛赫波矢k和非对易平移群Γ（Fuchsian群）。基于此，研究人员建立了一个描述双曲散射网络的本征方程。由于散射矩阵具有幺正性，本征方程求解得到的本征值位于复平面上的单位圆周上。这对应于Floquet本征问题，其中准能量φ(k)被限制于紧致空间[0, 2π)内。
基于上述本征方程，研究人员计算得到了带状结构的Floquet能带结构，如图2a-b所示。当环形器的反射率较低时（ξ = -η = π/8），观察到能带结构中存在八个带隙，并且每个带隙均填充了手性边界态。通过计算发现，虽然该能带的Chern矢量都为零，但每个带隙的单位同伦不变量Wφ = 1，这表明所有带隙都是拓扑带隙，属于双曲anomalous Floquet拓扑相（AFI）。相反，当环形器的反射较大时（ξ = -η = π/4），能带结构除了八个拓扑带隙外，还出现了两个Wφ = 0的平庸带隙，且带隙上下方的能带具有非零的Chern矢量，这种情况属于双曲Chern 拓扑相（CI）。
进一步地，研究人员通过计算有限网络的边界输运、有限腔体结构的态密度和局域化指数（图2a-c），进一步验证了上述双曲布洛赫定理的有效性。结果显示，在拓扑带隙中，边界传输率接近于1，态密度和局域化指数的数值较小；相反，在平庸带隙中，边界传输率接近于0，态密度为0，此时局域化指数无法被定义；此外，对于体态，态密度和局域化指数的数值较大，且与边界传输率一样，都随着相位延迟φ的变化而抖动。
因此，通过分析拓扑不变量和上述多个可观测量，研究人员得出结论：所设计的双曲散射网络支持AFI和CI。在AFI中，每个带隙都存在手性拓扑边界态；而在CI中，只在某些带隙中存在手性拓扑边界态。这些拓扑相与ξ, η参数组成的相图如图2d-e所示。
图2 双曲AFI和CI中的拓扑手性边界态。（a-b）左图：Floquet能带结构；中图：有限网络中的边界传输率；右图：态密度和局域化指数。（a）对应AFI，即ξ = -η = π/8；（b）对应CI，即ξ = -η = π/4。（c）拓扑带隙和平庸带隙中模式的场分布。（d）一维拓扑带隙图。（e）二维拓扑相图。
研究人员通过微波实验对前述理论分析和仿真计算结果进行了验证（图3a）。首先，通过测试单个环形器的散射矩阵，预测得到双曲散射网络在[5.5, 6.5] GHz的频率范围内属于AFI，而在[5.0, 5.5] GHz属于CI。利用环形器的散射矩阵和共面波导的色散曲线，研究人员进一步得到了频谱带隙图。随后，研究人员通过激发边界上的端口并探测共面波导中心位置的传输率，测量得到了场分布图，如图3e所示。实验结果显示，手性拓扑边界态沿边界以顺时针方向传输，而体态模式则向各个方向散射。
为了在实验中直接测量该双曲散射网络的拓扑不变量，以进一步验证其拓扑特性，研究人员提出了基于Laughlin’s pump argument的拓扑泵浦实验方法。实验步骤包括（图3b）：将网络视为Corbino圆盘结构；沿径向切割该圆盘结构；在切割处引入扭曲边界条件，并将其滚动成一个截断锥体。该扭曲边界条件为结构引入了非互易相位延迟，它等效于穿过截断锥体的合成磁通Φ。基于此，研究人员将拓扑不变量定义为在Φ绝热周期演化中，结构边界上探针反射系数相位的绕数（Winding number）。
在实验中，研究人员采用可重构非互易移相器构造扭曲边界条件，如图3c所示。该移相器受外部电压V1和V2的控制，能够精准调控非互易相位延迟。拓扑不变量的测量结果（图3d）显示，在[5.8, 5.82] GHz和[5.98, 6.07] GHz频率范围内，拓扑不变量为1，对应于手性拓扑边界态（拓扑带隙）。而在其他频率范围内，拓扑不变量为0，对应于体态或平庸带隙。此外，5.8 GHz和6.0 GHz处的反射系数（图3f）在复平面上形成了一个不可缩环，这一特征进一步证实了手性边界态的存在。而对于5.9 GHz和6.1 GHz处的体态模式，其反射系数的绕数为零。因此，以上实验预测的拓扑带隙图、测量得到的场分布图以及拓扑不变量之间展现出极佳的一致性，为双曲散射网络的拓扑特性提供了有力的实验证据。
图3 双曲散射网络中拓扑波传输的实验验证。（a）实验样品示意图。（b）基于Laughlin’s pump argument的拓扑泵浦实验示意图。（c）拓扑泵浦实验设置图。（d）测量的拓扑不变量。（e）测量的手性边界态和体态的场分布。（f）测量的反射系数在复平面上的分布。
该研究通过实验证明，非互易散射网络是探索双曲晶格中拓扑波物理的理想平台之一。利用网络的非互易性，研究人员将AFI和CI推广到双曲空间，实现了双曲手性拓扑波传输。特别地，anomalous Floquet传输为非欧几何空间中稳健的点对点能量传输提供了基础。此外，该工作将Laughlin’s pump argument推广到双曲几何，验证了双曲手性波传输的拓扑起源。这种实用方法适用于欧式和非欧晶格中的任意散射网络。最后，与欧式网络相比，双曲网络具有更大的边-体比，可以在较紧凑的结构中实现较长的手性传输。研究人员预测，在其他类型的双曲空间中，或在非厄米系统下，探索体-边对应的物理意义将揭示其他基于拓扑、非厄米性和负曲率的边界或趋肤效应等有趣现象。
文章链接：
https://www.nature.com/articles/s41467-024-46551-x
