具有时间周期的Floquet系统展现出不同于静态系统的拓扑特性，并主要由Floquet算符及其对应的准能量及本征态表征。Floquet系统中的一阶拓扑态及高阶拓扑态都已得到了理论及实验证明，这些Floquet拓扑态不仅展现出不同于静态系统中的反常拓扑性，而且可具有0模及静态系统所不具备的π模。另一方面，非厄米系统具有不同于厄米系统的复数本征能量及非正交本征态，非厄米趋肤效应是其最重要的特性之一。非厄米趋肤效应可使得拓扑态产生局域强化或局域弱化（离域）。近期的理论与实验研究已将Floquet系统与非厄米系统相结合构建非厄米Floquet系统，获得了多数目及多种类的拓扑态与拓扑相变等丰富且新奇的物理现象，且可用于实现拓扑π模激光、拓扑开关及拓扑光放大等。
在上述研究基础上，本课题组理论探索了二维准晶中的非厄米Floquet高阶拓扑态（即0模及π模）的物理特性，构建了非厄米Floquet多极数以有效表征系统的高阶拓扑性。发现了0模及π模在非厄米趋肤效应下不同的离域现象，其中π模体现出更具优势的离域特性。探索了在具有十二重旋转对称性的准晶中非厄米Floquet π模的灵活可调性，并建立了非厄米Floquet π模的离域特性与准晶晶格排布及非厄米趋肤效应之间的物理联系。
图1 Stampfli型准晶结构及其Floquet调控机理。(a) Stampfli型准晶填充图案；(b)与(c) 4个角区域基本单元的放大图，每个基本单元可视为由4个点位构成（准晶格点视作基本单元，且其内部涵盖4个点位），黑色数字为基本单元内点位的序号，t1（t2）为基本单元内（间）的互易作用大小，w（v）对应基本单元内的非互易作用大小；(d)与(e) 在w= v = 0的厄米情况下，准能谱与拓扑不变量随t1的变化；(f)在(d)中选取的拓扑0模（橙色三角形）及π模（橙色五角星）对应的归一化波函数分布。
图2 准能谱及0模与π模的波函数分布。(a)与(b) 非厄米情况下的准能谱；(c)与(d) 引入扰动项的准能谱；(e)与(f) 左侧分别为4个角区域基本单元的放大图，右侧分别为 0模与π模的归一化波函数分布。w= 0.25π/T，v= 0，t2 = 0.75π/T，(a)、(c)及(e)中 t1 = 0.1π/T，(b)、(d)及(f)中 t1= 0.8π/T。
图3 十二重旋转对称的Stampfli型准晶结构及其准能谱与波函数分布。(a) Stampfli型准晶结构；(b)–(e) 对应(a)中红色虚线框包含的3个基本单元的放大图，(b)与(d)代表基本单元内非互易作用，(c)与(e)代表基本单元间互易作用；(f)与(g) 不同非互易作用参数下的准能谱；(h)–(k) 不同非互易作用参数下的π模与边界态的归一化波函数分布。 t1 = 0.8π/T，t2= 0.75π/T，(f)及(h)中w= 0.15π/T，v= 0，(g)及(j)中w= 0.3π/T，v= 0，(i)中w = 0，v= 0.15π/T，(k)中w = 0，v= 0.3π/T。
图4 Stampfli型准晶中厄米与非厄米Floquet π模的演化。(a)与(b) 厄米与非厄米Floquet π模的波函数强度随时间的演化；(c)–(f) t = 0与9T时Floquet π模的归一化波函数分布：(c)与(d) 厄米情况，(e)与(f) 非厄米情况。t1 = 0.8π/T，t2 = 0.75π/T，(a)、(c)与(d)中w= v = 0，(b)、(e)与(f)中w= 0.15π/T，v= 0。
图5 准能谱及非厄米拓扑不变量随系统参数的变化。(a)–(d) 准能谱及非厄米拓扑不变量随T的变化；(e)与(f) 准能谱及非厄米拓扑不变量随t1的变化。
图6 Ammann-Beenker型准晶中的厄米与非厄米Floquet高阶拓扑态。(a)与(b) 厄米情况下的准能谱；(c)与(d) 非厄米情况下的准能谱；(e)与(f) 厄米与非厄米Floquet 0模的归一化波函数分布；(g)与(h) 厄米与非厄米Floquet π模的归一化波函数分布。厄米情况下w= v = 0，非厄米情况下w= 0.15π/T，v= 0，(a)、(c)、(e)及(f)中 t1= 0.05π/T，t2 = 0.8π/T，(b)、(d)、(g)及(h)中 t1= 0.85π/T，t2 = 0.8π/T。
图7 Sierpiński分形中的厄米与非厄米Floquet高阶拓扑态。(a)与(b) 厄米情况下的准能谱；(c)与(d) 非厄米情况下的实数准能谱；(a)–(d)中Sierpiński分形都具有两种高阶拓扑态，由红色与橙色三角形表示；(e)与(g) 厄米与非厄米Floquet 0模的归一化波函数分布；(f)与(h) 厄米与非厄米Floquet π模的归一化波函数分布。厄米情况下w= v = 0，非厄米情况下w= 0.15π/T，v= 0，(a)、(c)、(e)及(g)中 t1 = 0.28π/T，t2= 0.71π/T，(b)、(d)、(f)及(h)中 t1= 1.13π/T，t2 = 0.71π/T。
本工作理论探索了二维准晶中的非厄米Floquet 0模与π模。构建了非厄米Floquet多极数作为一种实空间拓扑不变量，可有效表征准晶中的高阶拓扑性并定量表征角区域中0模与π模的数目。建立了非厄米Floquet π模的离域特性与准晶晶格排布及非厄米趋肤效应之间的物理联系。本工作的结果不仅可适用于其它二维准晶及分形晶格，而且可推广至周期堆叠构建的三维准晶，为探索准晶在非厄米Floquet系统中丰富的物理特性与新奇的物理现象提供了新途径。
本工作受到了广东省基础与应用基础研究基金、“区域光纤通信网与新型光通信系统国家重点实验室”开放基金、国家自然科学基金、湖南省自然科学基金及湖南省教育厅科学研究项目重点项目等经费支持。
文章链接：
A. Shi, L. Bao, P. Peng, J. Ning, Z. Wang, and J. Liu, “Non-Hermitian Floquet higher-order topological states in two-dimensional quasicrystals,” Physical Review B, 111(9): 094109 (2025).
https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.111.094109
DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.111.094109
