无序之中的有序：无定形系统中的拓扑绝缘体相

最近，美国芝加哥大学和以色列理工的科研人员发现：在无定形系统中也存在拓扑绝缘体相和拓扑边界态。这说明，具有拓扑性质的材料并不一定需要满足空间的长程有序性。该研究结果拓宽了人们对于材料的拓扑性质和空间序关系的认识，为拓扑超材料的人工设计提供了新的研究思路和更为普适的材料体系。

在传统的凝聚态研究中，大家重点关注空间有序的系统（如晶体和准晶体），而对空间无序的系统则往往研究不够深入。这里说的无序系统，亦称非定形（amorphous）系统，指构成材料的基本单位不具有空间有序性，如玻璃、随机点阵材料等。我们知道，能带作为“刻画”凝聚态材料物理性质的一个重要的概念，往往只有在满足空间平移对称性的条件下，才能很好的在数学被推导出来。这是因为只有在具有空间平移不变性的系统中，布洛赫动量才能被很好地定义出来。然而，空间平移不变性并不是系统具有能带结构的必要条件。比如在准晶体和无定形材料中，也存在能带结构。因此，研究非定形系统中的能带结构，乃至于其具有的拓扑性质，是目前非常具有挑战性的一个前沿课题。对于此类课题的研究，不仅蕴含深刻的物理内涵，而且在当前人们能够加工出包括非定形在内的任意结构超材料的大背景下，也具有很强的实际应用价值。

图1. 通过在泰森多边形化（Voronoization）的网络顶点放置陀螺，并在相邻的陀螺之间用弹簧引入相互作用，从而设计出一种无定形拓扑绝缘体。

近日，来自美国芝加哥大学物理系的Noah P. Mitchell等，与以色列理工的Ari M. Turner合作，对由随机点集构成的无定形系统中的拓扑能带性质进行了研究，发现其中存在类似于电子材料中的拓扑绝缘体相和受拓扑保护的边界态。作者从理论上和实验两个方面对该系统进行了研究。相关成果以“Amorphous topological insulators constructed from random point sets” 为题发表在2018年4月的《Nature Physics》上[1]。

图2. 在一种拓扑非平庸的无定形系统中存在的受拓扑保护的边界态激发模式。

研究人员以随机摆放陀螺仪点阵为研究对象，仅仅通过调制陀螺仪之间局域的相互作用，发现了系统中存在拓扑保护的手性边界态。从表象上来说，这样的系统更类似于液体而不像是固体。通过对局域几何结构的控制（等价于改变局域的相互作用），比如从网格化Voronoization变成Delaunay triangulation型网格，就可以控制系统的拓扑不变量——陈数从-1变为0。这种变化证明了在无定形系统中，局域几何结构对整体拓扑性质的影响。研究人员还提出了另一种网格化方法Kagomizaiton来实现陈数为+1的系统。

由于存在体-边界的对应关系（bulk-boundary correspondence），拓扑非平庸的具有边界的系统往往存在受拓扑保护的边界态，这些边界态对于微扰和无序结构具有鲁棒性（robust）。不同陈数对应于具有不同手性的边界态，具体地说就是只能顺时针或逆时针传播的边界态。因此，研究人员通过设计不同网格化结构，改变局域的陀螺之间的相互作用，实现了任意调控边界态的传播，从而达到一种近似于计算机编程的效果。

图3. 通过设计无定形系统中网络的局部几何结构（局部相互作用）,从而调控边界态,形成文字图案“Chern”。

该研究结果在实验层面上证明：在缺乏长程空间有序的系统中，也是具有非平庸的拓朴相和拓扑边界态的；而且，这些拓扑相和拓扑边界态可以通过调节局域的相互作用而不是整体的特征来进行人工调控。这就为未来通过自组织过程设计超材料提供了理论支撑和指导。除此以外，该研究的结果也可以应用在其他材料体系，诸如电子材料，光子晶体，声学系统中，在应用上也具有一定的普适性[2-4]。

参考文献：

[1]Mitchell N, Nash L, Hexner D, et al. Amorphous topological insulators constructed from random point sets[J]. Nature Physics, 2018

[2]He C, Ni X, Ge H, Sun XC, Chen YB, Lu MH, Liu XP, Chen YF. Acoustic topological insulator and robust one-way sound transport. Nature Physics. 2016 Dec;12(12):1124.

[3]He C, Sun XC, Liu XP, Lu MH, Chen Y, Feng L, Chen YF. Photonic topological insulator with broken time-reversal symmetry. Proceedings of the National Academy of Sciences. 2016 May 3;113(18):4924-8.

[4]何程，卢明辉，陈延峰. 二维光/声学拓扑态[J]. 物理, 2017, 46(1): 12-20.

作者：解碧野

排版：Jane周