写在前面的话
前面我们介绍了基于基于能带反转实现的声拓扑绝缘体，其关键点是实现四重简并的双狄拉克点。模数哥之前介绍过赖耘老师早年基于三重简并的狄拉克锥：2011 Nat. Mat. 光子晶体偶然简并的狄拉克锥和零折射。前面介绍的何程老师2016的这篇工作中使用的布里渊区中心的四重简并双狄拉克锥正是借鉴了赖老师偶然简并的思路。并且这个工作是陈泽国(模数哥敬爱的猫哥，是small panda，不是cat)在2014年就完成了的，发表在Scientific Reports上面：Accidental degeneracy ofdouble Dirac cones in a phononic crystal。下面，我们就一起看看基于COMSOL仿真声子晶体中四重简并的双狄拉克锥。
也正是因为对称性的提高，和四方点阵相比，六角晶体的元胞画法就有很多了。一般的我们取菱形结构，如图中蓝线所示，通过合理设计晶格参数和占空比，我们可以在布里渊区中心获得心心念念的双狄拉克锥（原图Fig. 1a）：
当我们改变圆柱半径，即声子晶体的占空比，便可以打开狄拉克点，获得两个两重简并态（原图Fig. 1a）：
直接利用COMSOL计算这些能带结果是不难的，难的是要理解这个特殊的四重简并态，我们这里分别给出两种元胞画法下的简并态模场分布（原图Fig. 2）：
根据模场的对称性，我们可以看出这个四重简并态分别由两个p轨道和两个d轨道组成，并且菱形的元胞结构能够更好地表现出对称性。随着晶体中圆柱半径的变化，即晶体占空比的变化，布里渊区中心的能带实现了反转，即p轨道从下面变到了上面，能带从平庸态(trival)变成了非平庸态(non trival)。
上图所示的元胞中有六根钢柱，是初基元胞的三倍，由于实空间与倒空间满足倒数关系，所以相应的布里渊区要缩小三倍，对应的能带图如下图：
如上图所示，由于能带的折叠，原本在布里渊区顶点的二重简并狄拉克点就变成了布里渊区中心的四重简并狄拉克点(625Hz附近)。至此，关于如何构造四重简并的双狄拉克锥并分析其模场对称性，模数哥就介绍完了。下面是几点点评：
1，晶体的最大特点就是周期性，所以只要周期边界处理好了，元胞的画法其实区别不大。当然，对于六角晶格来说，采用棱形画法能够更清晰地体现出模场的对称性。
2，当我们采用超级元胞对能带进行折叠后，如上图所示，我们发现625Hz也对应布里渊区中心的四重简并的双狄拉克锥。但是需要说明的是这个锥是无意义的，因为它并没有形成global bandgap，即一个贯通的带隙。这一点从原来的初基元胞的能带图中也可以看出来。
3，为什么我们这里要讨论能带的折叠呢？因为最先想到通过能带反转来构造赝自旋的，是日本国立物质材料研究机构(National Institute for Material Science, NIMS)的胡晓老师PRL 114, 223901 (2015)，所以这里的real contribution属于这位胡老师。而胡老师当时在光子晶体中做的拓扑绝缘体，就是采用了能带折叠的方法来获得四重简并的，类似的还有程营老师的工作PRL 118, 084303 (2017)。
4，而实际上早在2014年，猫哥他们就通过偶然简并实现了四重简并的双狄拉克锥，但是他们并没有想到如何利用这个来构建赝自旋。可见科研就是这样，一群群科研人员你推我赶，一步步地把对自然的认知向前推进，一步步地完善一套理论。
4，回忆红海边的年少时光
非常感谢猫哥近日的讨论和指导，模数哥才磕磕绊绊地写完这次帖子。和何程老师一样，猫哥多年来一直专注于拓扑的研究，对哈密顿量玩得炉火纯青。六年前因为吴老师提供的机会，模数哥曾有幸在红海边的KAUST和猫哥一起学习过一段时间。当时猫哥不仅帮我解决了很多数理问题，还很多次填饱了我的胃。Time Flies.
猫哥为人谦虚，每每谈论科研，经常客气地说自己没有real contribution，弄得模数哥十分惭愧。人生就是这么难料，后来模数哥一度去了企业，远离科研。猫哥一直心怀拓扑，稳扎稳打。猫哥博士毕业后又辗转日本、香港做博后，一直忙于科研。所以如此优秀、贤惠的猫哥现在还没开出爱情的花朵，这也是我这次忙了一天写帖子的根本原因：如果您是位漂亮的单身女子，please donot hesitate to contact Zeguo.
作者：模数哥
来源：Comsol杂货店
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