撰稿|由课题组供稿
近期，香港大学物理系张霜教授课题组与清华大学孙洪波教授，吉林大学的冯晶教授，以及香港科技大学的郭清华博士和杨镖博士合作，在高维拓扑结构的研究方面取得了重要进展。研究团队通过引入反对称的双各向异性作为合成维度，理论上探究了利用三维超构材料对五维动量空间中的二维拓扑外尔面半金属态进行探索的可能性；进一步地，通过巧妙地设计结构，在高维动量空间中旋转外尔面，并探测其在特定旋转状态下的三维真实动量空间截面，首次在实验中观测到了五维空间中互相缠绕的外尔面，以及相对应的四维边界中非平凡的表面态。相关研究成果于近期发表于《Science》，香港大学马少杰博士和吉林大学毕宴钢副教授为论文第一作者，游欧波为合著作者。
动量空间中的奇点在拓扑物理学中起着重要作用，例如二维系统如单层石墨烯的狄拉克点，以及三维系统的外尔点。外尔点是存在于三维动量空间中两个能带之间的线性相交的二重简并点。作为贝里曲率的源，外尔点一般被看作是动量空间中的磁单极子。三维动量空间中，在任意一个封闭曲面上对贝里曲率积分会得到其内部包裹的外尔点拓扑核的数目。将外尔点拓展到五维动量空间，可以得到由四个能带简并产生的零维的杨单极子点或两维的外尔曲面（见图1A）。杨单极子是杨米尔斯理论里非阿贝尔规范场的来源，在高能理论中具有重要地位[1,2]。它是存在于五维动量空间中的孤立的四重简并点，其拓扑性体现为在任意包裹它的四维封闭曲面上对非阿贝尔贝里曲率的楔积积分，得到值为±1的第二陈数。通过引入微扰可以把杨单极子转换成相互缠绕的二维外尔面[3-5]。此类外尔面的拓扑性质体现在如下两个方面：（1）外尔面上的每一个点在其对应的三维余维空间中是外尔点，具有非平凡的一阶陈数；（2）外尔面之间的缠绕的次数等于未引入微扰时杨单极子的第二陈数。与这些高维拓扑结构的非平凡的第一和第二陈数相对应，上述体系也具有特别的边界态特征，如在四维边界上由表面态构成的三维的超曲面，以及之上的一维的外尔弧。由于空间维度的限制，这些超越低维系统的丰富的拓扑特征仅仅在理论上被讨论，尚未得到实验的验证。
超构材料是由人工微结构按一定宏观序排列构成的人工光学材料，具有一般自然界材料所不具备的丰富的电磁性质，比如负折射率(negative index)，巨大手性(gigantic chirality)，极端各项异性(extreme anisotropy)，以及双各项异性(bi-anisotropy)等等。特别是，通过对手性和双各项异性的设计可以将超构材料对电磁波的电场和磁场分量的响应耦合起来，即材料中的磁偶极子可以被外电场激发，而电偶极子可以被外磁场激发。手性与双各项异性的不同表现为，手性电磁耦合沿着同一方向，而双各项异性则沿着相互垂直的方向。若材料存在手性或双各项异性，其物构方程一般写成：
研究团队发现，若电磁材料的双各项异性矩阵
具有全反对称的特征，则可以被看作是合成动量维度。从均匀系统的麦克斯韦方程出发，叉乘
可以被表示成空间动量的全反对称矩阵，即
的形式，其中
是Levi-Civita符号,这与反对称的双各项异性矩阵
在数学形式上类似。具体而言，对应于反对称双各项异性的均匀系统，麦克斯韦方程可以表示为：
这意味着，在有效媒质层面，反对称的双各向异性参量具有与空间动量完全等价的性质，通过精确设计超构材料中的双各向异性特征，可以为体系提供额外的合成动量维度。
研究团队由此出发，选择3个空间动量
和其中2个合成动量
将处于三维空间的Dirac超构材料[6,7]扩展至五维合成空间的杨单极子
，这里
是五个相互反对易的4´4矩阵，分别与5个动量分量耦合。在这样的五维动量空间中，两重简并的能带相交构建而成的四重简并点即为杨单极子。值得一提的是，在三维的空间动量构成的子空间中观测时，当合成动量（双各项异性）非零时，杨单极子表现出带隙，如图1A所示。
对于任意四能带的厄米系统，数学上来看，其哈密顿量一定可以分解到16个基矩阵上。除了单位矩阵以及上述五个与动量耦合的矩阵
之外，还存在
之间相互对易构成的十个不同的基矩阵
。在杨单极子中引入微扰项，
对应于不同[m,n]指标的微扰项的引入会将上述四重简并的杨单极子变形为在五维空间中，不同朝向、相互缠绕的二重简并的二维外尔面，如图1C所示。对于存在于高维空间中的复杂结构，难以直接想象，故而需要选择不同的三维子空间来观测它们之间的缠绕特征，或等价地，在五维空间中转动外尔面结构并在特定子空间中，如三维的真实动量空间，观测其截面信息，如图1D-F所示。对应于不同的朝向（不同[m,n]指标），在三维动量子空间中，两个外尔面的缠绕表现出完全不同的行为，或为包裹外尔点的节面，或为相互缠绕的节线，或为分开外尔点的节面。值得注意的是，这样截然不同的行为其实是高维空间中同样的结构在不同的截面上的展现。通过对外尔面在五维合成动量空间中进行可控的旋转，并在三维真实动量空间观测高维结构对应的截面信息，即可得到高维结构的完整信息。
基于这样的想法，研究团队建立了超构材料有效媒质参量与五维空间哈密顿量之间的一一对应关系，并结合群对称性的考虑，以及超构材料的电容电感模型的辅助设计，对合成动量空间下不同朝向的外尔面对应的超构材料进行了设计。对应的典型的超构材料单元设计如图2所示。每个单元结构由八个具有不同手性的相互耦合的金属螺旋结构组成。螺旋结构提供了沿着Z方向电场和磁场的共振响应。通过调节它们之间的耦合，可以实现沿Z方向频率独立可调的电纵模和磁纵模。此外，电磁体系本身支持另外两个沿Z方向传播的横模。通过对结构耦合以及对称性的设计，可以实现两个横模和两个纵模之间的两两简并，它们之间的交点就是一个四重简并点，即三维空间的狄拉克点。通过单元内部螺旋结构各自的旋转可用于产生和控制反对称的双各项异性，即合成动量的强度和角度（图二平面图所示）。这样，在三维空间中通过不同的合成动量，我们事实上实现了五维合成空间的杨单极子。另外，在螺旋结构之间的介质层中额外引入具有特殊对称性的结构则可以作为微扰项来提供杨单极子到特定朝向的外尔面
之间的转变，如
，以及
。其中，具有
微扰项的系统可以将高维外尔面的缠绕信息直观地映射到对应的三维真实动量子空间，即在每个外尔面都隐藏一个维度后形成相护缠绕的节线。在实验中，研究团队通过对其体态色散关系的测量，验证了具有非平凡第二陈数的外尔面系统在高维空间中的缠绕特征，如图3所示。其中，由第2，3能带之间的简并节线形成一个圆环（红色），而1，2能带和3，4能带形成的节线（蓝色和紫色）分别从圆环中穿过，形成缠绕。
由于外尔面上每一个点在其三维余维空间都是外尔点，在余维空间的界面上会发出一条费米弧。外尔面上的所有点的费米弧的集合就形成一个三维的超曲面，被称作费米超曲面（Fermi Hypersurface）。费米超曲面也存在于杨单极子体系。杨单极子体系和外尔面体系在垂直于X方向的界面上的费米超曲面由图4 A，B所示；由于K5维度被隐藏，费米超曲面在图中表示为一个二维曲面。由于系统具有非平凡第二陈数，这意味着除了余维空间中外尔点的一阶拓扑陈数之外，外尔面构成的二维曲面自身也是拓扑非平凡的，在三维费米超曲面中截取与外尔面同伦的截面（典型的对应如图4 A,B中超曲面在隐藏K5维度之后，固定KZ的截线），这些截面也具有与外尔面自身相同的非平凡的一阶拓扑陈数。通过改变频率穿过外尔面的频率，非平凡的第二陈数符号会发生改变，带动外尔面以及附近的截面一阶陈数符号发生改变，这导致临近外尔面与远离外尔面的截面之间存在一阶陈拓扑数的差异，从而在三维的费米超曲面上产生源自于非平凡的第二陈数的零维的交点，即表面外尔点（见图4 A，B）。随着频率的变化，表面外尔点在四维表面动量空间中逐渐移动，最终形成一条连接两个杨单极子或两个外尔面的一维弧线，被称之为外尔弧（见图四C，D）。在实验中，研究团队通过对杨单极子超构材料的表面态在不同频率进行测量，验证了其非平凡第二陈数在表面态上的对应，即表面态构成的三维超曲面上存在一维的外尔弧，如图4 E， F所示。
这项工作提供了一个独特的平台来探究在更高维度下复杂电磁响应系统的拓扑特性。相关研究得到了香港研究资助局卓越学科领域计划（AoE/P-502/20），Horizon 2020 Action Projects [编号648783 (TOPOLOGICAL),734578 (D-SPA),77714 (NOCTORNO)]，以及国家自然科学基金［编号61825402］的支持。
1. C. N. Yang, J. Phys. A Math. Theor. 19, 320-328 (1978).
2. S. Sugawa, et al., Science 360, 1429-1434 (2018).
3. B. Lian, S. C. Zhang, Phys. Rev. B 94, 041105 (2016).
4. B. Lian, S. C. Zhang, Phys. Rev. B 95, 235106 (2017).
5. J. Y. Chen, B. Lian, S. C. Zhang, Phys. Rev. B 100, 075112 (2019).
6. Q. Guo et al., Phys. Rev. Lett. 119, 213901 (2017).
7. Q. Guo et al., Phys. Rev. Lett. 122, 203903 (2019).
Linked Weyl surfaces and Weyl arcs in photonic metamaterials | Science (sciencemag.org)
https://science.sciencemag.org/content/373/6554/572
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