Laser Photonics Rev.:电磁涡旋波与对称性共舞

撰稿|由课题组供稿

涡旋（vortex）在自然界中十分常见，大至银河中螺旋状旋转的星云，小到超流和超导体中的量子涡旋，再到日常生活中打旋儿的水波和青萍之末飞旋的风，都能看到涡旋的影子，电磁波中亦然。电磁涡旋波（electromagnetic vortex）有着螺旋状的相位分布，该分布可以由涡旋波所携带的拓扑荷数表征。在1992年，L. Allen等人发现电磁涡旋波在傍轴区是携带了轨道角动量（orbital angular momentum）的。这一发现为电磁波引入了除幅值、频率、相位、极化之外一个额外的自由度。不同于自旋角动量量子数数只能取±1，轨道角动量量子数理论上是可以取任意整数的，而且量子数不同的两个轨道角动量波束正交，这些特性使得涡旋波束可以提供一个良好的不同于传统时间和频率复用的信息复用方法，进而提高通信系统频谱利用效率，增大信道容量，满足如今信息化时代爆发式增长的通信需求。此外，携带轨道角动量的涡旋波束也可以在微粒子的光学操控和诱导超越偶极相变等领域发挥重要作用。

涡旋波束的科学和应用价值激励着人们不断探索如何有效产生涡旋波，其中最普遍采用的方法就是电磁散射，即通过电磁散射体将普通电磁波调制为涡旋波。我们在研究中发现，大量用于产生涡旋波的电磁散射体往往具有几何对称性，尤其是旋转对称性，但这些对称性与电磁散射体产生涡旋波的关系尚不明确。鉴于此，我们运用群表示理论系统地研究了基于电磁散射产生涡旋波时，散射体的几何对称性尤其是旋转对称性究竟有何作用。

首先，我们通过群表示理论建立了一套完整的理论框架去研究对称性与广义的电磁散射问题的联系，这一联系是通过群不可约表示的投影算子和散射体阻抗算子的互易关系实现的。散射体的几何对称性可以构成群，这个群有若干不可约表示，每个不可约表示可以定义其投影算子。散射体的阻抗算子可以通过电场积分方程方法建立，其包含了散射体所有的本征信息。当不可约表示的投影算子与阻抗算子互易时，散射体的本征模可以用群不可约表示进行分类。

图1 D₄群不可约表示对应的本征电场分布

接着，我们讨论了散射体所能支持的涡旋波和散射体对称性所构成群的不可约表示和之间的关系，从而揭示了涡旋波拓扑荷和散射体对称性之间的关系，即涡旋波拓扑荷实质上是由群不可约表示决定的。在此我们主要关注具有M重旋转对称和M重镜面对称的散射体，散射体几何对称性构成的群为D_M群或C_Mv群（二者同构）。以D₄群为例，每个不可约表示对应的本征电场分布可以表征如下图1， 从中可见A₁不可约表示对应了拓扑荷为0的涡旋波，二重简并不可约表示E的两行E₁和E₂分别对应了拓扑荷为-1 和1的涡旋波。随着旋转对称重数的增加，散射体将能支持更多阶数的涡旋波，以具有D₁₀群对称性的散射体为例，其每个不可约表示对应的本征电场分布可以表征如下图2所示，从中可见更多的阶数的涡旋波出现了。

图2 D₁₀群不可约表示对应的本征电场分布

为了激励某个特定的涡旋波，仍旧基于前所讨论的电磁散射和对称性的关系，我们为入射波提出了对称匹配条件，即若要激发属于某个不可约表示的涡旋波，入射波应当在这个不可约表示上有不为零的投影。为了实现这一条件，我们提出了两种实现方法：

1） 对于一个具有M重旋转对称的散射体，我们可以设计一个由M个馈电端口组成的馈电网络产生特定的入射波，该入射波可以选择性激发我们需要阶数的涡旋波。其中M个馈电端口旋转对称分布，端口相位可以由D_M群的特征值表确定。

2） 考虑到当M较大时，馈电网络设计将会变得非常复杂，我们发现可以将馈电端口数目约减到2个，从而提出了二端口馈电方法用以实现对称匹配条件，如图3所示。我们只需要调节二端口的几何夹角和相对相位延迟两个参数即可选择性激发属于某个不可约表示的涡旋波。

图3 二端口馈电网络激发不同阶数涡旋波图示

值得一提的是，尽管我们使用了多个端口的馈电网络实现了对称匹配条件，但该匹配条件实质上适用于任何类型入射波，比如当入射波为拉盖尔-高斯波束，入射波的自旋和轨道角动量经过散射体散射后转化到散射波的轨道角动量上，这一自旋轨道转化过程完全可以基于对称匹配条件分析。

最后，为了验证我们的理论，我们设计了一个具有D₄₈群对称性的微波等离激元谐振器。该谐振器可以实现多阶的局域人工表面等离激元对称和反对称模式。我们设计了八组具有不同几何夹角和相对相位延迟的二端口馈电网络用以激发阶数为±1到±4的涡旋波，设计和加工样品如图4所示。仿真和实验结果如图5所示，二者展现出很好的一致性，也很好地证明了我们的理论。前面实现的涡旋波径像分布参数均为p=1。作为拓展性研究，我们也仿真观测了具有高阶径向分布（p=2）的涡旋波，如图6所示。

图6 阶数为±3~±4的径向阶数为2的涡旋波

总结一下，我们的工作回答了在用电磁散射体产生涡旋波时，散射的对称性究竟起何作用的问题。群表示理论和电场积分方法的使用为两个非常基础的物理概念--对称性和涡旋波的电磁散--建立了连接。我们进一步为如何激发涡旋波提出了一个广泛适用的对称匹配条件。基于此条件，我们着重发展了二端口馈电方法用以选择性激发特定阶数的涡旋波。基于此方法，我们仿真实现并实验验证课径向阶数为1、拓扑荷从±1到±4的涡旋波的产生，也拓展研究了径向阶数为2、拓扑荷从±3到±4的涡旋波的产生。

相关工作以“Customizing the topological charges of vortex modes by exploiting symmetry principles (DOI: 10.1002/lpor.202100373)上。比利时鲁汶大学杨杰博士为论文第一作者，鲁汶大学郑学智博士和西安交通大学兼职教授王甲富教授为论文共同通讯作者。鲁汶大学范登布施教授、西安交通大学张安学教授和东南大学崔铁军院士也为该工作做出了重要的贡献。