基于非点群对称性的新型多级声拓扑绝缘体- 大数跨境

两江科技评论

2020-01-06

导读：近日，南京大学固体微结构物理国家重点实验室、人工功能材料江苏省重点实验室、材料科学与工程系及人工微结构科学与技术协同创新中心的卢明辉、陈延峰的研究团队，与苏州大学蒋建华的研究团队合作，在拓扑物理和材料

导读

近日，南京大学固体微结构物理国家重点实验室、人工功能材料江苏省重点实验室、材料科学与工程系及人工微结构科学与技术协同创新中心的卢明辉、陈延峰的研究团队，与苏州大学蒋建华的研究团队合作，在拓扑物理和材料研究方面取得重要进展。他们发现了一种新型多级拓扑绝缘体，其不同的带隙各自支持相应的偶极子和四极子极化，分别表现出声学类自旋霍尔效应和异常声二阶拓扑现象。基于一类非点群声学结构，并通过精确设计和3D打印技术实现了这种新型声拓扑绝缘体。文章以“Symmetry-protected hierarchy of anomalous multipole topological band gaps in nonsymmorphic metacrystals”为题发表于近期的Nature Communications。

研究背景

始于量子霍尔效应的发现，拓扑相和拓扑物理逐渐成为凝聚态物理中的前沿领域。对称性和拓扑作为材料分类的两大基准，由其协同作用产生的拓扑非平庸性质直接导致了丰富的拓扑相和拓扑材料的发现和设计，从而引起了人们的极大关注。在晶体中，体偶极子极化(dipolepolarization)可以通过填充带的贝利相位进行量化，并可通过瓦涅尔中心的位置进行表征，用以描述霍尔电导或者磁电极化，分别刻画其对应的量子霍尔效应及拓扑绝缘体。最近，体偶极子极化被推广到更高阶的四极子(quadrupole polarization)和八极子极化(octupole polarization)，支持非常新奇的拓扑现象。例如，2D系统中非零的四极子极化对应于有带隙的边界态及处于带隙中的角态的出现，且这些边界态的出现均来源于非平庸的体拓扑性质，展示出一种新型的高阶拓扑相。

此前，人们普遍认为偶极子极化和四极子极化这两种不同的拓扑相是分立地、不相容地存在于两个系统中，因为四极子极化存在的条件在于消除偶极子极化，而偶极子极化正是传统拓扑绝缘体的标志。那么这两种拓扑相是否能够共存于同一系统中？对于这一好似具有明显答案的问题，本文发现了新的证据，证明这两种拓扑相可以以一种层级次序(hierarchical)的形式共存于同一系统中：第一带隙支持非零的偶极子极化，对应于声学类量子自旋霍尔效应；第二带隙支持非零的四极子极化，对应于一类异常的声学二阶拓扑相。其“异常”处在于，本文是基于非点群滑移对称性实现四极子极化，突破了此前实现四极子极化需要非常复杂的、基于正负耦合的紧束缚模型的限制，大大简化了设计难度。文章研究发现，通过调制几何参数，其声学结构可以由p4g非点群对称性变为C_4v点群对称性，伴随着系统经历拓扑相变，其相变点对应于异常四极子极化的消失，直观地描述了四极子拓扑绝缘体中对称性和拓扑的协同作用，为高阶拓扑的研究提供了新的思路。此外，在不同的带隙中（对应于不同的频率）实现不同的拓扑现象，有望在多路复用声传播和声波调制中产生应用。

创新研究

本文构造了一类具有正方晶格的声子晶体，其周期单元含四个直角拱形散射体，它们拥有相同的结构参数，由散射体的高度，拱形臂的长度以及拱形臂的厚度描述（如图1a所示）。通过调节这些结构参数可以改变系统的能带结构并调控其拓扑性质。设计的声子晶体具有两个正交的滑移对称性、空间反演对称性以及C₄旋转对称性，属于一类非点群的p4g空间群。正是这类有趣的空间群对称性为系统带来了一系列有趣的非平庸拓扑性质。首先，滑移对称性导致系统的能带结构在布里渊区MX和MY边界上形成双重简并（第一第二能带简并、第三第四能带简并，见图1b）。其次，根据极化理论，偶极子极化可以简单地由能带高对称点上反演算符的本征值（即宇称）得到，如果有奇数条能带在Γ和X高对称点上发生宇称反转，则系统具有非零的偶极子极化参数；如果有偶数条能带在Γ和X高对称点上发生宇称反转，则系统具有平庸的偶极子极化参数。计算发现，文中设计的声子晶体在第一带隙中拥有非零的偶极子极化参数而在第二带隙中偶极子极化参数为零。偶极子极化参数为零是四极子产生的必要条件。研究发现，第二带隙确实具有非零的四极子极化参数，其量子化由滑移对称性保证，揭示了一类由对称性保护的四极子拓扑绝缘体。这类特殊的四极子极化要求带隙之下至少有四条能带，区别于传统的四极子极化（其只需要两条能带）。

文中利用瓦涅尔能带（即Wannier bands，可以由Wilson-loop计算得到）对系统的四极子极化进行表征，发现其极化带隙之下的两条能带（即第一第二能带）以及极化带隙之上的两条能带（即第三第四能带）的瓦涅尔能带均不简并且具有带隙（见图1c）。如果将前者标记为瓦涅尔能带“1”和“2”（后者标记为“3”和“4”），它们可分别形成两种瓦涅尔分区（Wannier sectors），即加和分区“1+2”（“4+3”）以及相减分区“1-2”（“4-3”）。有趣的是，作者发现相减分区具有带能隙的瓦涅尔能带及量子化的嵌套瓦涅尔能带（Nested Wannier bands），意味着系统具有非零的四极子极化；而不同的是，加和分区的瓦涅尔能带则是无能隙的，对应于量子化的偶极子极化（见图1d-e）。“1+2”分区中的偶极子和“4+3”分区中的偶极子相互消减，这正是四极子产生的必要条件。这些结果表征了受p4g空间群保护的异常四极子拓扑绝缘体。

图1. 非点群声子晶体中受对称性保护的多级拓相。a.文章设计的非点群声子晶体，其中插图表示一个周期单元。b. 多级拓扑绝缘体的体带结构，其第一带隙支持量子化的偶极子极化而第二带隙支持量子化的四极子极化，受非点群p4g空间对称性保护。插图表示第一布里渊区。能带结构中的“+、-”代表高对称点Γ和X上的模式宇称（“+”表示偶宇称，“-”表示奇宇称）。c.异常四极子带隙中有能隙且非简并的瓦涅尔能带。d. 加和和相减分区的瓦涅尔能带。e.不同分区中瓦涅尔轨道（Wannier orbits）的线性组合可形成偶极子极化或者四极子极化（示例图）。

进一步研究发现，调制系统的几何结构可以触发第二带隙中的四极子拓扑相变，从而验证了这一声学系统中对称性与拓扑的关系。具体来讲，文章研究了下述的几何调制：首先降低拱形散射体的高度直到其降为0（如图2a中前三个结构所示），然后减小拱形臂的长度（如图2a中第四个结构所示），最后增加拱形臂的厚度（如图2a第五个结构所示）。在这一几何调制的过程中，为系统从非点群p4g空间对称性到点群C₄_v对称性的几何相变点，这正对应于第二带隙中四极子的拓扑相变，从而完美地揭示了对称性和拓扑的相互作用。如上文所讲，四极子带隙中支持拓扑角态，因而可以利用体带隙的闭合和角态的消失来表征这一伴随着几何变换的拓扑相变。具体地，文中用角、边以及体中的局部态密度加以描述。计算结果显示，当结构具有p4g空间群对称性时，其表现出四极子拓扑绝缘体特有的性质，即体带隙中拥有带带隙的边界态和处于边界态带隙中的角态（见图2b-c）；经过几何相变，体带隙闭合、角态消失（见图d-e）；当结构经过几何相变之后具有C_4v点群对称性，即便再次打开带隙，带隙中原本由于四极子导致的角态也不再出现（见图2f），证明几何相变正对应于四极子的拓扑相变，经过拓扑相变，四极子极化消失。

图2. 第二带隙中的四极子拓扑相变。a.通过调节几何参数实现声子晶体的对称性由p4g非点群对称性变换为C_4v点群对称性，伴随着四极子的拓扑相变。b-f.角、边以及体的局域态密度，用以表征四极子拓扑相变及对应的角态的消失。

如上文所述，四极子带隙中支持有带隙的边界态和处于带隙中的角态，本文利用3D打印制备了一系列样品并在实验上测量和表征了这些拓扑态（见图3）。样品由有限大结构的四极子拓扑绝缘体包裹声学硬质材料构成，通过在拓扑绝缘体和硬质材料之间引入空气层构造拓扑物理边界。空气层的厚度经过合理的调制，使得角态的消失点正对应于四极子拓扑转变点。这一处理移除了由于非拓扑因素引入的局域模式，从而确保得到的边界态和角态全部来源于四极子的贡献。图3显示了实验测量的边界态色散关系，与计算结果高度吻合。可以看出，两条边界态位于体带隙中，它们中间存在边界态带隙。对激发的边界态进行实验扫场测量，发现确实如预期所想，这类模式主要局域于边界上，远离界面声场快速衰减。这一特征与边界态相符合，再次证明拓扑边界态的存在。文章还发现两条边界态携带相反的角动量信息，可以类比电子自旋（见图3d）。此外，这一工作报道的四极子带隙具有非常高的频宽（体带隙接近37%的带宽而边界态带隙接近20%），这样的宽频带隙可以确保带隙中的边界态和角态的高度局域和高鲁棒性。

图3. 第二带隙中由四极子极化产生的边界态的理论计算及实验表征。a.一维超晶格的投影能带。线图代表模拟计算结果，颜色图代表实验测量结果。在体带隙中发现局域的拓扑界面态（由绿色线表示）。b-c.分别为边界态的声场实验扫描和数值模拟图。可以看到，激发的声场主要局域在边界上，远离边界声场快速衰减。这些特征与边界态相符合。d.携带相反角动量（即携带相反赝自旋）的边界态中的相位分布和能流方向。

图4中，首先在一个四方的超原胞中计算了本征模态，在体带隙中发现一维边界态、在一维边界态的带隙中发现零维角态。在这一四方结构中，四个角态在频率上简并，然而在位置上，它们各自独立地局域于四个角上，表现出了四极子拓扑绝缘体特有的性质。实验上分别测量了位于体、边界以及角上的不同位置的频响曲线，证实了上述计算结果，即角态出现在体态和边界态的带隙中。进一步的声场强度扫描也验证了角态的存在，并与模拟结果进行了对比，显示出了高度的吻合。对角态的拓扑鲁棒性也进行了验证，发现角态对于结构缺陷具有非常高的免疫性。

图4. 第二带隙中由四极子极化产生的角态的计算和实验表征。a.四方超原胞中角态的本征态模拟。b. 3D打印样品中透射谱的实验测量，其中角态的响应曲线为橘黄色线/阴影，可以看出其响应位置位于体带隙和边界态的带隙中。c-d.角态的声场实验扫描和数值模拟图。可以看到，激发的声场主要局域在角上，远离角声场快速衰减。这些特征与角态相符合。

接着，文章对第一带隙中量子化的偶极子极化及其导致的声学类量子自旋霍尔效应进行了研究和表征。如上文所述，滑移对称性可以导致布里渊区边界上的能带简并，形成赝自旋态，可以类比电子自旋。系统的拓扑性质可通过旋转散射体进行调制。具体来讲，通过调节旋转角度，布里渊区M点处的简并打开，体能带经历能带反转，系统实现体的拓扑相变（如图5a-b所示）。这里的拓扑相变类似于量子自旋霍尔效应，可在不同拓扑相的界面处形成赝自旋锁定的无能隙拓扑边界态。实验上对这些无能隙的边界态进行了表征。如图5c所示，测量的边界态色散关系与计算结果高度吻合，证明了边界态的存在。进一步研究发现，这些无能隙的边界态携带角动量信息，确实可模拟电子自旋（如图5d）。数值模拟结果也证实了自旋锁定的边界态传播，即如果用带不同方向的角动量声源激发这些边界态，它们会沿着不同的方向进行传播。

图5. 第一带隙中偶极子极化导致的声学类量子自旋霍尔效应及其无带隙的边界态表征。a.通过旋转散射体，系统的体能带结构在布里渊区M点呈现带隙闭合到打开的过程，显示出拓扑转变。b.不同旋转角度下声子晶体的能带结构。c.无带隙边界态的表征。线图代表模拟计算结果，颜色图代表实验测量结果。在体带隙中发现无带隙的拓扑界面态（由绿色线表示）。d.携带相反角动量（即携带相反赝自旋）的边界态中的相位分布和能流方向。

该文探索了基于非点群对称性导致的多级拓扑绝缘体，为多级高阶拓扑物理的研究提供了新机制。因为实现四极子极化无需依赖紧束缚模型，这一理论能够帮助简化高阶多级拓扑绝缘体的设计并为探索其实际应用如多维拓扑波导等提供新思路。在不同的频率上实现不同的拓扑相也有望对多路复用且受拓扑保护的信息处理等应用产生启发。本文所验证的物理机制可推广到其他经典波体系，例如光学系统，弹性系统中。此外，拓展到三维系统中，文中的物理机制也有望帮助实现不依赖于紧束缚模型的八极子拓扑绝缘体。

南京大学的张秀娟、苏州大学的林志康、王海啸为该论文的共同第一作者；南京大学陈延峰、卢明辉及苏州大学蒋建华共同指导了这一工作。南京大学的田源和苏州大学的熊展参与了该课题的研究。研究得到了科技部国家重点研发计划、国家自然科学基金、江苏省自然科学基金、江苏省特聘教授基金等项目的支持。