作者：方鑫、温激鸿、Henri Benisty（法国）、郁殿龙
1883年，Floquet提出了周期的线性微分方程的解，称为Floquet定理。1928年，Felix Bloch将Floquet定理延伸至三维并用于描述晶体的导电性，建立了Bloch定理，又称Floquet-Bloch定理。Floquet-Bloch定理是固体物理学的重要基石，其简洁地描述了周期结构中不同晶格位置上本征波的相位关系，即
这一定理可用于计算固体/材料的能带特性，广泛用于晶体和超材料波动特性研究中。可以看到，该定理描述的是线性波动系统中位置
和
之间波状态的线性映射。在不考虑杂质的前提下，使用这一周期条件的隐含假设为：晶体中每个晶胞的能带特性是完全相同的，不随波传播的时间/空间而变化，即时空不变性。
严格而言，Bloch定理不能适用于非线性介质和非线性波动系统。然而，由于目前尚没有描述非线性周期介质能带特性的准确理论，Bloch定理作为一种近似方法一直被沿用于非线性光子晶体、非线性电磁超材料以及非线性声学超材料等领域。目前研究制备的绝大多数光学/电磁材料（含超材料）仅能产生弱非线性，此时使用Bloch定理分析的能带特性与实验结果基本吻合，尚没有产生使Bloch定理完全失效的现象。
当前，已有大量研究基于Bloch定理分析了非线性声学超材料的“带隙”偏移特性：随着非线性强度的增加，带隙向高频或低频移动。非线性光子晶体也有大量类似研究。这些研究依然沿用了“能带与带隙时空不变性”假设。然而，随着非线性强度的增加，我们会发现非线性“带隙”内的传输特性与相同尺寸的线性结构带隙内传输特性之间的差异逐渐增加（包括带宽和衰减量）。在强非线性下，基于Bloch定理的预测结果已经完全错误。所以，真实的波传播经历了什么过程？时空不变性假设是否依然近似有效？
为了回答这一本质的问题，近来国防科技大学方鑫老师等人研究了含桥连耦合增强非线性局域共振单元的超材料结构。研究发现，对于相同长度的结构，极强非线性产生的传递衰减范围远大于线性超材料的带隙范围，如图1左图所示，这一现象无法用现有研究中的“混沌带”解释。
图1 增强非线性超材料的波传播特性。左图：黑色曲线为线性超材料、红色曲线为非线性超材料。右图：整个频带上波的传递率随传播距离的变化
详细观察波在整个频带的传播过程（图1右图）会发现，近场的弹性波衰减发生在非线性影响的偏移带隙内，但是随着传播距离的增加，其衰减范围不断变宽，最终在远场产生一个超低频超宽带的带隙。这一传播的过程并未引入任何外部干预，是自发产生的，定义为自适应。带隙的自适应变宽称为自扩展。自扩展带隙反过来说明强非线性条件下的能带结构随着传播的空间/时间自适应变化，这与Bloch定理内含的时空不变性存在本质差异。奇妙之处在于，这一自适应过程在无阻尼情况下仍然十分显著。
研究表明，上述超低频超宽带内的衰减依然来自带隙效应在空间的累积（又称为倏逝波Evanescent wave传播过程）。线性超材料的研究认为倏逝波是表面波，在靠近激励源存在。但是在强非线性产生的自适应过程中，带隙效应可以发生在材料内部的某个区域（即某个空间范围）内，如图2所示。在这个区域前，某种特殊效应使波的总幅值开始产生微小衰减，开启了自适应过程；在这个区域之后，线性机制起主导作用。决定自适应能带的本质原因依然是能带的幅值依赖性，但是此时“幅值”随空间/时间而变化，使能带也随空间/时间变化。作者深入揭示了这些特性的产生机理。经法国非线性光学领域的专家Henri Benisty教授确认，受限于非线性强度，自适应能带在非线性光学/电磁学研究中尚未发现。
图2 不同情形下的衰减过程
除了超低频超宽带的带隙外，自扩展带隙还能产生弹性波/声波限幅特性。限幅（limiting）是来自非线性光学的概念，指非线性光学材料能透射低幅值波但抑制高幅值波的特性。这也是首次将限幅特性引入非线性弹性波领域。
然而，想实验中证明自扩展带隙和声限幅却面临相当的难度，主要难度依然在于应用普通激励条件（中小幅值）产生均匀、稳定的极强非线性效应。经过大量探索，方鑫等人设计了图3所示的耦合共振增强非线性结构，进而结合多种实验方法严谨地证实了自扩展带隙、弹性波限幅的现象与机理。
图3 增强非线性声学超材料
上述研究近期发表在Physical Review B中“Ultrabroad acoustical limiting in nonlinear metamaterials due to adaptive-broadening band-gap effect.
DOI: 10.1103/PhysRevB.101.104304”。虽然本文研究针对的是弹性波，但是文章预测自适应能带结构和自扩展带隙对于由强非线性耦合共振单元构成的周期介质是普适规律，有望拓展至非线性光学/电磁学等更多的非线性波动物理领域。
此外，关于桥连耦合局域共振对有限结构混沌带的调控效应请参考文献Bridging-Coupling Band Gaps in Nonlinear Acoustic Metamaterials.
DOI: 10.1103/PhysRevApplied.10.054049；关于开启能带自适应变化过程的高次谐波产生规律请参考文献New J. Phys. 20 (2018) 123028。
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https://doi.org/10.1103/PhysRevB.101.104304
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