撰稿|由课题组供稿
艺术图：非阿贝尓拓扑荷（四元数群）在辫子网络中的物理实现
近些年，拓扑物理的迅猛发展有望支撑变革性技术革新，如无损能量、信息传输，拓扑激光与雷达以及量子计算等。这个领域始于1980年由Klitzing发现的整数量子霍尔效应，其中的霍尔电导随着外加磁场是整数倍变化的。该整数就是拓扑不变量（陈数），用以描述拓扑系统的稳定性。两个拓扑不变量不同的绝缘体的界面上一定会存在束缚态。在量子霍尔效应中，这些边界态显示手性属性。他们只能在一个方向上沿边界传播而不能被散射，体现出对外界环境的鲁棒性。
在过去的十几年里，对各种对称性保护的物理系统拓扑分类的研究吸引了大批研究者。在不破坏某些对称性或不关闭禁带的情况下，两个不同的拓扑相之间不能绝热地相互转换，因为每一个拓扑相都由一个类似于陈数的全局不变量来描述。该全局不变量通常是整数，即阿贝尔拓扑荷。阿贝尔群元素之间可以实现交换运算，比如，1+2=2＋1。另外，从一个拓扑态到另一个态的转变有一个固定的路径。比如，从1到5需要依次经历2，3和4（例如图1a）。因而拓扑系统的边界态的数目可以通过体-边对应 (bulk edge correspondence) 来描述，即由边界两边的体态的拓扑不变量的差值决定。
图1：阿贝尓与非阿贝尓拓扑相之相变（图b来自维基百科）
近年来，研究人员提出了非阿贝尔拓扑荷的概念1-2——群元之间的乘法不可交换。当有多个（>1）带隙缠结在一起时，系统具有丰富的非交换的辫(braiding)结构。尽管有许多潜在的应用，但到目前为止还没有在动量空间中直接观测到非阿贝尔拓扑荷的实验报道。而以往的实验中人们也仅仅通过三能带系统的动量空间中不同能带之间形成的拓扑结线 (nodal line) 的相互连接和环绕来间接推断非阿贝尔拓扑荷的存在3。在这项研究中，我们通过构建空间和时间反演对称保护的传输线网络来直接实验观测到了一维能带系统中的非阿贝尔拓扑荷。并将非阿贝尔拓扑荷清晰地映射到本征坐标架球面上。与阿贝尔群描述的拓扑系统不同的是，不同拓扑相之间的转换的路径不再是唯一的（如图1b），这使得体-边对应更为复杂。该研究同时也提出了非阿贝尓体-边对应，它提供了边界/畴壁态分布的全局视图。
图2：四元数群及拓扑能带
对于一个空间和时间反演对称性保护的，具有三条不简并能带的一维体系，其拓扑分类是一个四元数群1，该群有五个共轭类：(+1, ± i, ± j, ± k, −1)，其中有八个元素，元素之间满足i2 = j2 = k2 = ijk = -1。接下来我们介绍一下这个四元数分类对应的物理意义。当布洛赫动量k从-π连续变化到+π，其对应的三个本征态也随之转动（图2b-d），三种不同颜色的本征态分别与三条能带相对应。以拓扑荷+i为例（图2b），其第2，3两条能带（本征态）旋转了角度π，而第1条能带没有转，可以看作是旋转轴。当旋转轴为第2条和第3条能带时，分别对应了+j和+k（图2c-d）。而拓扑荷-i，-j，-k则对应旋转角度是-π。另外，拓扑荷-1对应旋转角度是2π（图2e），并且不同旋转轴之间可以互相连续变换，所以它们属于同一个拓扑分类；拓扑荷1则是拓扑平庸的情况，没有发生旋转。图2a给出了四元数群的群乘法关系。
图3：通过传输线网络观测非阿贝尓拓扑荷
我们随后构造了一系列具有不同四元数拓扑荷的传输线网络，图3a所示的照片对应拓扑荷-1的网络。实验中，我们测量了每个节点的电压，经过傅里叶变换，就得到了不同拓扑荷的布洛赫能带以及本征态（图3c-j），观察到了对应的本征态旋转。我们还测量了它们的边界态，+i和+k分别对应一个在上带隙和下带隙的边界态（图3c，g），+j则是上下带隙都有一个边界态（图3e）。另外，-1的边界态可以在两个带隙中的任何地方，数目为2个或者3个，实验上测的-1的边界态只是其中的一种情况（图3i）。
物理系统拓扑分类的一个重要用途就是根据体态的拓扑荷来预测边界态，两个系统交界处的边界态数目可以用它们之间拓扑荷的差值来预测，例如上面提到的陈数之差，都属于阿贝尔可交换群。我们的研究发现，对于非阿贝尓拓扑荷这样的一维体系，两个系统之间的拓扑边界态则是需要通过两个拓扑荷之间的商来预测。例如，如果把属于分类+i和分类+j的两个样品放在一起，根据群商关系+i/+j=-k，其边界态的分布应该和-k的边界态一致，我们称之为非阿贝尓商准则。我们在文章中从基本同伦群和Jackiw-Rebbi模型的角度对非阿贝尓商准则进行了论证。
该项研究实验上首次观测到了非阿贝尓拓扑荷，并提出和证实了非阿贝尔拓扑荷对应的体-边对应准则，该准则可以被推广到任意多能带的非阿贝尓体系，为今后非阿贝尓拓扑领域的研究给出了一个建设性的指导。该研究4由香港科技大学陈子亭教授团队领衔、香港大学张霜教授和国防科技大学杨镖副研究员共同合作完成；香港科技大学物理系郭清华、姜天舒和张若洋博士为共同一作；张磊老师参与了部分关键讨论，張昭慶老师参与了大量的理论分析并提出了很多宝贵的意见，在此特别致谢。
1 Wu, Q., noninteracting metals. Science 365, 1273, doi:10.1126/science.aau8740 (2019).
2 Bouhon, A. et al. Non-Abelian reciprocal braiding of Weyl points and its manifestation in ZrTe. Nature Physics, doi:10.1038/s41567-020-0967-9 (2020).
3 Yang, E. et al. Observation of Non-Abelian Nodal Links in Photonics. Physical Review Letters 125, 033901, doi:10.1103/PhysRevLett.125.033901 (2020).
4 Guo, Q. et al. Experimental observation of non-Abelian topological charges and edge states. Nature 594, 195-200, doi:10.1038/s41586-021-03521-3 (2021).
文章链接：
https://www.nature.com/articles/s41586-021-03521-3
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