前沿|物理评论快报：多面体气泡振动

本文原文刊于

《物理评论快报(Physical Review Letters)》126卷 5期

标题：

Polyhedral Bubble Vibration

作者：

Mariem Boughzala, Olivier Stephan, Emmanuel Bossy, Benjamin Dollet, and Philippe Marmottant

DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.126.054502

水下气泡是非常好的声学谐振体，但是会自由变化和溶解。近来,研究人员发现气泡可以在框架中保持稳定，但关于框架形状对气泡的影响还没有任何资料。本文首先探讨具有较少面的多面体气泡（5种柏拉图多面体）的振动。它们的共振频率可以通过同体积球形气泡的相关公式得到很好的近似结果。然后研究人员使用富勒烯形状，将这些结果拓展到具有很多面的多面体，从而研究任意大小气泡的共振。

引言

相比固体或液体，水中的气泡由于其内部气体的可压缩性，在声波下的振动更加明显。气泡是良好的声学振动体，具有显著的共振频率。内部包含很多气泡的材料，它们的振动会被气泡吸收。即使相隔一定距离，气泡也很容易因为相邻气泡的振动波而受到彼此的强烈影响。大量无接触的振动传递使人联想到人际交往中柏拉图式爱情。这里，我们就讨论柏拉图多面体（以相同正多边形作面的凸多面体）形状的孤立气泡的振动。

水中自由球形气泡的位置（可能漂浮）或体积（内部气体可能溶于水中）是不稳定的。在先前的工作中，研究人员研究了正六面体气泡——用3D制造的立方体框架固定气泡且浸入水中。框架可以让气泡的位置和体积保持稳定超过一天的时间，使得研究人员能够用这些气泡构建一个阵列，创造一种新的声学超材料。如果开口足够小，毛细作用力就可以阻止水进入框架，目前有记录的最大孔径是一个正六面体气泡上的2.1mm，这是与毛细管长度相当的一个尺寸（毛细管长度以计算，σ为表面张力，ρl为液体密度，g为重力常数）。这样的框架不会阻碍气液界面的振动，界面在平衡状态下是平坦的。

正六面体只是一种特定形状，选它是因为它便于3D设计。现在，研究人员计划了解其他形状气泡的振动，并确定这些形状气泡的最大尺寸。

本文先讨论规则的多面体气泡，而后延伸到任意形状。首先是研究5种柏拉图多面体气泡:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，最终研究对象会拓展到具有任意面数的气泡。

研究人员用3D光刻技术制作了上述5种多面体形状的毫米级框架，经过烷硅化的光刻胶具有疏水性，水不易进入框架。将框架缓缓浸入水中，保持气泡被困框中，保持开口处界面大致平坦(图1)。

图1.（a）浸入水中的正四面体气泡和水听器。（b）3D打印的五种柏拉图多面体框架。正六面体框架宽度为3mm，以此作比例参考。（c）浸入水中后开口处为气液界面。

柏拉图多面体框架缓缓浸入水箱中，封闭气泡在水下扬声器的近场中产生大频率范围的声学振动[图2(a)]。水听器被放在尽可能靠近气泡的位置以增加信号强度，用来记录声压。为了显示气泡的效果，研究人员在没有气泡的情况下相同位置测得参考声压值。气泡对信号频谱的相对贡献表示为，,为,的傅里叶变换。

由A的幅值有一个最大值可清晰地证明气泡的共振[图2(b)]。一种更精准地测量共振频率的方法是看A相位的余弦值cos[φ(A)]，它在共振频率时会与水平轴相交，这是受迫谐振的一个标志。

对于一个给定的形状，共振频率会随着孔径的增大而降低[图2(c)].具有较少面的多面体（如正四面体）共振频率相对较高。这样的气泡在框架孔径l=2.5mm左右时达到最大尺寸，再扩大毛细作用力就不足以阻止水进入结构了。研究人员发现如果将这些多面体气泡的共振频率看作它们等体积球体的半径Req的函数，那所有种类气泡的函数可以完美重合[图2(d)]。其中气泡（气体）体积Vg计算的前提是假设气液界面与框架外表面共面，等体积球体半径(等效半径)。

图2.（a）柏拉图多面体气泡的振动，此处为正四面体。开口尺寸由内切圆的直径l来衡量。（b）l=2.46mm的正四面体的归一化频率响应A的幅值和相位余弦。（c）共振频率关于气泡直径l的函数。孔径大于2.5mm时水会进入所有结构。（d）共振频率关于气泡等体积球半径Req的函数。实线：Minnaert模型[Eq.(1)]。叉：富勒烯多面体。插图：共振频率和Minnaert频率的比值。

Minnaert发现一个半径为Req的球形气泡的共振频率可由

获得，其中ρl为液体密度，γ为比热容，P0为气压，对于大于一个毫米的气泡来说它们都是有效的。该公式被称为Minnaert公式，在图2(d)中为一条实线。对于所测的柏拉图多面体气泡，即便它们的形状和球形相差甚远，其共振频率与Minnaert公式所预测的频率也是惊人地一致。因而我们可以通过这个公式，用气泡的等效半径来得到很好的共振频率近似值。绘制出fres/fMinnaert可以更直观地比较气泡共振频率与Minnaert频率[图2(d)的插图]。尽管每个界面的边线位置变化引起的测量噪声无法忽略，从图中还是可以发现正四面体的共振频率略高一些，并且，所有测得共振频率与Minnaert频率的差异均小于10%。

为了理解形状对气泡振动的影响，研究人员对声音传播进行了3D模拟。他们采用了弹性力学方程的时域有限差分法，框架忽略不计（框架无限细），假设整个柏拉图多面体充满了气体。和实验中一样，在有、无气泡的情况下分别发送同样的宽带脉冲，对照体现气泡的作用。这些发射的压力波在较近的距离上接近于多面体气泡的形状，然后很快转变为单极球形发射(图3)。观察共振频率时，研究人员发现四面体的Minnaert频率与模拟值有明显偏差，模拟值高了8%，而正二十面体的模拟值则更接近Minnaert频率，进一步支持了实验结果。

研究人员对这种结果给出了一种理论解释。对于气体体积的微小脉动，气体体积在平衡值附近振荡。总体势能可写作，其中k是由气体压缩决定的刚度系数（忽略表面张力）；U的大小仅与气泡体积有关。在气泡周边运动的水的总动能写作，其中m是由具体几何形状决定的惯性系数；Ec是体积脉动产生的势速场υ的函数。气泡振荡的固有频率为。Strasberg发现，各形状的惯性系数m和静电电容C间有一个等比关系：形式上m/ρl等于C/ϵ0的倒数，ϵ0为真空介电常数。

多面体的电容计算是一个长期存在的数学难题，需要解决，U的法向导数的表面积分，后者是在表面Г上具有边界条件U=1的拉普拉斯方程ΔU=0的解。通过多面体电容C的数值解，我们可以得到多面体电容和相同体积的球体的电容的比值，由此，我们可得到频率比

   

对于正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，这个值分别是1.082，1.032，1.027，1.0061，1.0067，非常接近声传播模拟的结果[图3(f)]。可以注意到，这些比率都大于1，由此可假定，球体是所有给定体积的形状中共振频率最小的（或者说是电容最小的）。这个假设在某几类形状中是有确切结果支持的，比如说椭圆形以及某些略微非球的形状。柏拉图多面体气泡的大小受水进入框架的影响：最大的是等效半径Req=4.5mm的正二十面体（N=20），孔径大小lmax=2.5mm。如果能设计出具有更多面的形状，更大的气泡应该也能存在——当然，这样就不可能依然是规则多面体了。所以下文将不再局限于柏拉图多面体。

研究人员由富勒烯的形状开始探索略微不规则的多面体，特别是由六边形和均匀排布在内切二十面体顶点处的12个五边形组成表面的多面体。研究人员设计了多种富勒烯形状，从最小的巴克敏斯特富勒烯C60（即由于1970和1974两次用于世界杯足球球面设计而知名的足球烯）开始，然后是C180，C240，C320，C540，分别具有32，92，122，162和272个面[图4(a)和图4(b)]。由这些富勒烯多面体，我们可以将气体体积拓展到等效半径Req=7.5mm(C540)。

研究人员测量了这些富勒烯多面体气泡的共振频率，发现依旧可以通过Minnaert公式得到很好的近似，如图2(d)。需要注意的是，这种大气泡的品质因子较高（约为30），接近同等大小的自由球形气泡的理论值，意味着这种结构不会再有很大阻尼增加。

有人可能想知道这样的富勒烯多面体气泡的大小是否有上限，研究人员认为，与柏拉图多面体气泡相比，人造富勒烯多面体气泡需要更小的孔径来防止水进入。C540结构气泡的最大孔径lmax=1.45mm，对比最大正二十面体气泡的孔径为lmax=2.5mm。

可以用以下简单的参数对这种趋势进行建模。当半径为R的干燥框架被部分浸入水中，其底部的界面在完全进入前会承受较大的静水压力，约为2ρlgR。因此，孔径必须足够小，才能使毛细拉普拉斯力（对于最大的界面曲率来说约为4σ/l）足以抵消静水压力，孔径必须小于。如果我们选择σ=70×10^-3N/m，则lmax的数据紧密地遵循以上关于Req的函数，系数为0.8。

因此，大的多面体气泡需要大量小孔，如果小孔面积是柏拉图多面体各面面积的一个分数Φ(<1)，并假设所有面都是相同的且多面体近似于一个球，我们就可以得到所需孔洞的总数为 ，为防止水进入，这个数应大于，其中lc是毛细管长度。最终结论是，气泡的大小实际上并没有限制，但随着气泡增大，面的数量会急剧增加。

图4.（a）具有更多面的富勒烯多面体：C180，C240，C320和C540。（b）浸没的C180多面体和直径为9mm的麦克风，以此作比例参考。（c）较厚框架的影响：具有恒定开口大小l=2 mm的正六面体，其共振频率与面的尺寸L的关系。右上图：外部尺寸L在3~11mm之间的正六面体；各面的厚度保持恒定为0.5mm。实线：Minnaert频率。 虚线：多面体模型。插图：共振频率与Minnaer频率的比率作为l/L的函数。

人们可能还想知道框架的声学影响，尤其是当他们变厚了之后。为了解答这个问题，研究人员特意制作了一个开口远小于面大小的多面体（是一个正六面体），可参见图4(c)的照片和草图。研究人员观察到，这种情况下气泡的共振频率偏离了Minnaert公式的预测。定性的解释是，边框很厚时多面体和球体相比只有较小比例的表面在振动。对这种效应定量建模的方法是，关注各个开口的单独界面，它们振动时表现为单独的振荡体，通过气体（因为它们压缩相同的气体）和液体（因为它们发出声波）耦合。

根据这种方法，每个振动界面（标记为i）可被建模为位移为（在假设为圆的界面上取平均值）的单独振荡体，气体压缩或减压产生势能   ,其刚性系数。假设一个圆形孔洞嵌在一个无限平面内，一个单独存在的运动界面带动周围的流体，则有动能，其中附加质量。在最低能量的模式下，N个界面同相振动，有效刚度系数为keff=Nk，有效质量为，其中rij是液体中的最短路径（对于正六面体来说，rij=L）。共振频率由计算得到，在图4(c)中用虚线标出，与实验结果吻合。这个频率比Minnaert频率要低，甚至在孔洞大小与面大小的比值l/L趋于零时，这个频率也趋近于零。

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