近日，来自美国加州大学洛杉矶分校的 Aydogan Ozcan 团队 提出了一种利用全光合成衍射面进行任意线性变换的方法，当衍射面的数量大于特定值时，线性变换的误差可以足够小，以至于被忽略。这对全光信息处理器的设计提供了重要思路。
光波同时携带有空间信息和时域信息，因此可用作信息处理。相比于传统的电流，光因为其以光速传播，具有高并行性和大吞吐量，同时功耗极低，因此极富有应用前景。目前，光信息处理已经在很多系统和结构中演示，例如超材料、等离激元等。随着技术的进步，利用先进的衍射材料控制光与物质的相互作用，从而精确地塑造光波阵面已经成为可能。例如，通过空间上精确调制衍射面，这些由衍射面组成的光学处理器已经可以实现统计推断和某些特定任务，比如图像分类，单像素机器视觉以及空间控制波分复用等。
由于标量波在衍射面中的传播和透射可看作一系列线性变换的结果，因此利用衍射面高效进行线性变换是光信息处理的一个重要课题。其关键在于精确设计衍射面，从而获得特定线性变换，而没有较大误差。本文利用了两种方法进行设计，一种基于矩阵伪逆法，一种基于深度学习算法。
该团队提出了两种方法进行衍射面的设计。第一种基于矩阵伪逆法。光在衍射面中的传播有两类，第一类是在衍射面处发生透射，用矩阵T表示，另一类是在面与面之间的自由空间中传播，用矩阵H表示。于是等效的线性变换A’=HT。我们需要知道透射矩阵T 的信息，从而设计衍射面的结构。对于一般的线性变换，H不一定存在逆矩阵，该团队便用伪逆H’，求得透射矩阵T。值得注意的是这一方法只针对层数K=1情形，且完全是数值的，不需要任何数据的投喂。
第二种方法基于深度学习。对于K层衍射面，首先利用设计好的数据进行投喂，根据误差-反向传播算法得到神经网络的各个权重。再利用该模型，输入预期的线性变换A，求得透射矩阵T’的信息。这一方法更为高效，相对矩阵伪逆法精度也更高，但对数据质量的要求也十分高。
为了比较两种方法的实际效果，该团队设计了一系列任务来检测两种算法的质量。第一种针对任意的酉线性变换（见图1）。针对一个K层的衍射面组成的阵列（图1a），作者先生成了一个随机的酉变换（图1b），然后分别用矩阵伪逆法和深度学习法求得对应的透射矩阵T，从而反推出相应的线性变换A’。两种算法得到变换的误差随衍射面个数的关系在图1c给出。同时，作者也给出了两种算法的余弦相似度（图1d）、均方差（图1e）和衍射效率（图1f）。可以看出当衍射面层数较多时，深度学习方法有明显优势。图2和图3给出了具体的振幅和相位的误差分布，从中可以更直观地看出层数、神经元数目越多，变换误差越小。
顺着这个思路，为了清楚展示这两种方法对任意复值线性变换都有效，作者还讨论了任意复值非酉可逆变换（图4）、二维离散傅里叶变换（图5）、二维任意置换变换（图6）和高通滤波相干成像（图7），均得到了相似的结论。由此可见，矩阵伪逆法和深度学习法可以很好地设计衍射面，从而获得任意复值线性变换。这对全光处理器的设计具有指导性的意义。
图1：任意复值酉变换的衍射全光变换结果。（a）K层衍射网络示意图。该网络在输入和输出视场之间进行全光学的线性变换，分别具有Ni和No像素，由A’给出有衍射层引起的全光变换矩阵。（b）输入-输出变换矩阵的振幅和相位示意图。这个变换是一个任意生成的酉变换。（c）全光变换误差公式。图中x轴表示一个K层衍射神经网络中的神经元总数（N），其中每个衍射层包含N/k个神经元。不同衍射设计（彩色曲线）是平权的，因为每个衍射设计具有相同的可用神经元总数。模拟结果用点表示，并且经过了线性插值。（d）在（b）中目标变换矩阵的矢量化形式与产生的全光变换之间的余弦相似度。（e）通过衍射网络输出的真实输出场和估计的输出场之间的均方差。（f）设计的衍射网络的衍射效率。
图2：在图1中展示的衍射全光变换和它们与真实、目标线性变换的差异。|∠A-∠A’|π表示真实输出场和归一化全光变换之间的包裹相位差。
图3：对图1b中真实变换的输入-输出图像和在不同N的选择下(N=482,802)的光学输出。图中展示的是相对真实变换的归一化输出场的振幅和相位。
图4：与图1的描述相同，所不同的是此处讨论的是任意复值非酉可逆变换。
图5：与图1的描述相同，所不同的是此处讨论的是二维离散傅里叶变换。
图6：与图1的描述相同，所不同的是此处讨论的是置换变换。
图7：与图3的描述相同，不同的是此处讨论的是高通滤波成像。
该文章近日发表在国际顶尖学术期刊《Light: Science & Applications》，题为“All-Optical Synthesis of an Arbitrary Linear Transformation Using Diffractive Surfaces”，Onur Kulce博士是第一作者，Aydogan Ozcan 教授为通讯作者。
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https://doi.org/10.1038/s41377-021-00623-5
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