撰稿|钟雨豪
坐标变换法作为一个强大工具，为任意几何变换提供了所需的本构参数。在弹性力学中，这些本构参数描述了一种本构关系，与传统的胡克定律不同，这种本构关系是极性和手性的，并且尚未在已知固体中发现。那么，极性和手性弹性固体是否可以自下而上设计为基于晶格结构材料呢？近日，美国密苏里大学机械与航空工程系黄国良教授团队提出了一种基于离散变换的理论设计方法。该方法的关键是让几何变换的梯度不仅作用于弹性介质，而且作用于固体的基本晶格结构，他们利用提出的设计范式构建了一种极性晶格超材料，随后将其用于弹性地毯隐身。数值模拟验证了在不同的静态和动态机械载荷下该材料的优异隐身性能。该方法可以扩展到其他的弹性力学性质中，并呈现出在静态和动态掩蔽之外的特殊场扭曲功能。该研究成果以“Discrete transformation elasticity: An approach to design lattice-based polar metamaterials”为题，发表于《International Journal of Engineering Science》。黄国良教授为通讯作者。
复合材料理论为人工材料的设计方法提供了理论支撑。但是一个重要的问题是如何使用某些制造工艺（例如混合、分层或3D打印）从有限数量的弹性相中设计出具有目标弹性特性的材料。超材料的出现给复合材料理论带来了新的挑战，因为它们打破了本构关系中的某些常规对称性，例如胡克定律的次对称性。在变换声学中，声学“隐形”斗篷的设计自然要求使用“各向异性流体”，即非静态应力的声学介质，各向异性流体能够以晶格形式从单一固相中3D打印制作而成，这种各向异性流体被称为“五模材料”。 另一方面，在变换弹性中，各向异性是不够的，一般的空间扭曲变换，即坐标的曲线变化，将胡克定律修改为不同的非标准本构定律。修正定律的具体形式取决于坐标变化中采用的“量规”。
晶格超材料包括五模材料是一类人工结构材料，它具有某些极端性质， Milton和Cherkaev最早通过五模材料证明任何弹性张量都可以通过适当的晶格材料混合物来实现。黄国良教授团队研究了如何从单晶格超材料中形成变形的弹性材料，并提出了一种从所需特性开始的逆向设计的合理方法，从而形成可以3D打印的体系结构。相比之下，他们的设计范式适用于结合非均匀拉伸、剪切和旋转的任意变换梯度，并允许实现具有极性和手性的各向异性材料。
变换弹性中所需的弹性张量c是两个参数的函数：（i）标准参考介质的弹性张量C，即在应用任何几何变换之前；（ii）将参考介质映射到物理空间的空间扭曲变换的梯度F。相比之下，目前的设计范式适用于结合非均匀拉伸、剪切和旋转的任意变换梯度，并允许实现具有极性和手征性质的各向异性材料。关键的想法是让F不仅对弹性属性进行变换，将其从C变为c，而且对底层架构本身进行变换。本文在极性弹性框架内完成了这些工作，并基于严格的推导提出了可行的设计方法，同时考虑了弹性方程的全张量特征，这些方程可以是各向异性、极性和手性的。该团地利用提出的设计范式构建了一种极性晶格超材料，用于观察弹性地毯斗篷。然后进行了数值模拟，结果表明在剪切和压力、静态和动态载荷下具有良好的隐身性能。
图1 连续变换弹性的示意图。具有弹性张量C的连续弹性介质占据虚拟空间{X}。具有弹性张量c的变换弹性介质占据物理空间{x}。变换梯度F包括非均匀拉伸、剪切和旋转。当虚拟弹性介质是各向同性时，得到的变换弹性介质是各向异性、手性和极性的。
图2 离散变换弹性的示意图。弹簧连接到质量节点的虚拟晶格的特征是有效模量C。在离散变换过程中，体量节点将按照F变换到新位置，而弹簧保持其原始方向。变换后的晶格最初未对齐且不接触。通过调整质子和弹簧以确保接触，同时抑制质子的旋转，构建最终变换的极晶格。
图3 利用离散弹簧振子极性晶格设计的地毯斗篷。(a)用于实现隐藏三角空隙的地毯斗篷的几何变换 (b)采用离散变换法设计了弹簧振子晶格 (c) 变换后晶格的零模等效于虚晶格的刚性旋转。
图4 极性晶格超材料的微观结构实现。(a) 晶格超材料的拓扑结构，(b) 晶格超材料的单位胞。a=18mm，θ=30◦, d1=0.38mm，d2=d3=0.84mm。软硬材料的杨氏模量和泊松比分别为1Gpa、0.33、100Gpa和0.33；(c) 硬材料通过一根杆连接到地面，该杆能够以零旋转在几乎自由平面内平移; (d)晶格超材料的有效弹性常数与所需的转换弹性常数比较; (e) 地毯斗篷采用晶格超材料制成，其中la=360 mm。
图5 极性晶格超材料地毯斗篷的数值模拟。第一列图显示了晶格超材料嵌入背景介质进行掩蔽时的结果，第二列图显示了背景介质无损时的结果，第三列图显示了未涂覆空隙时的结果。(a)具有压力入射的位移场发散, (b)压力入射下位移场的旋度, (c)具有剪切入射的位移场发散, (d)具有剪切入射位移场的旋度。
本文报告了一种基于离散变换弹性的简单方法来设计基于晶格的极性超材料，该材料可以自动满足任意坐标变换的本构关系，且表现出变换连续系统所需的极性、手性和各向异性。基于这种极性超材料，本文还构造了一种弹性地毯斗篷，并用数值方法演示了如何隐藏三角形空隙。该研究针对弹性斗篷所需的转换宏观本构张量，为解决极性晶格超材料的反设计问题建立了一个理论框架。变换弹性方法灵活度高，改变坐标变换或虚拟空间中的材料来就能产生新的材料参数，基于离散变换弹性设计的晶格超材料可以在动力学和静力学中实现强大的控制功能，即波导、幻象等。此外，基于这种方法设计的超材料可以在没有几何变化或不连续的情况下使用。因此，与其他方法相比，这种方法在构建与变换弹性相关的基于晶格的拓扑结构方面具有优势。
文章链接：
Chen Y, Nassar H, Huang G. Discrete Transformation Elasticity: An Approach to Design Lattice-based Polar Metamaterials[J]. arXiv preprint arXiv:2104.14471, 2021.
DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2021.103562
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