能带拓扑与非厄米效应的竞争关系研究

撰稿|由课题组供稿

近日，南京大学固体微结构物理国家重点实验室、人工微结构科学与技术协同中心、江苏省功能材料设计原理与应用技术重点实验室、现代工程与应用科学学院的陈延峰教授、卢明辉教授课题团队基于一维非厄米SSH模型进行了理论研究，揭示了一种能带拓扑与非厄米效应的竞争关系。相关工作以Competition between band topology and non-Hermiticity为题发表于期刊Physical Review B。南京大学现代工程与应用科学学院2017级本科生程杰玮（现为北京大学材料科学与工程学院孙强教授组2021级直博生）为论文的第一作者，张秀娟副研究员、卢明辉教授为论文的共同通讯作者。

作为量子力学的五大基本假设之一，厄米性假设规定哈密顿算符在封闭系统中必须具有厄米性。该假设可以在数学层面上保证哈密顿算符的本征值为实数并且其时间演化算符具有幺正性，从而保证波函数的概率守恒。然而，这一假设更多的是出于数学方面的要求而非物理层面的限制，比如对于开放系统来说，因为存在与周围环境的能量交换，其动力学无法再由厄米哈密顿量进行描述，需要引入非厄米性。突破厄米性假设的限制，而从物理层面加以构建的非厄米模型，可以从多个角度催生新奇的物理效应，如波的单向传播、使相空间出现奇异点、奇异环等等，这类非厄米模型能够忠实地描摹存在能量交换的物理系统，由此产生的非厄米物理学在近年来引起了广泛的研究。特别地，在拓扑物相中引入非厄米可以深刻地调制和改变系统的拓扑性质，其拓扑物性突破了传统布洛赫能带论的解释，进而催生了一系列研究，如非厄米趋肤效应和适用于非厄米拓扑体系的非布洛赫能带论等。但是，非厄米效应与能带拓扑的相互作用与影响的具体机理和非厄米趋肤模式与拓扑边界态的关系，仍有待于进一步的研究。

本文基于一维SSH模型这一一维拓扑绝缘体的标准模型，引入非互易的跃迁常数构造了一维非厄米SSH模型。在此基础上，我们通过理论推导和数值模拟相结合的方法，证明了在非厄米拓扑系统中，能带拓扑和非厄米效应存在相互竞争关系。这一竞争关系直接导致了非厄米拓扑体系中传统体边对应关系的失效，并且导致了在拓扑非平庸的参数空间中，系统从能带拓扑(或晶体对称性)主导区域(TDR)向非厄米效应主导区域(NHDR)的转变，使得拓扑边界态（两个零能态分别局域在一维链两端）转换为拓扑趋肤模式（两个零能态受非厄米趋肤效应驱使局域于一维链的同一端）；在转变点，拓扑边界态展现出一种有趣的退局域（delocalization）特征，即它们不再局域在一维链的两端或者一端，而是扩散在整条链上，其行为类似于厄米系统中的布洛赫体态分布。本文进一步讨论了不同链长度下存在的边界态模式耦合对于竞争关系的影响，发现这种耦合可以加速TDR向NHDR的转变；相对的，研究还发现在一类非厄米平方根SSH模型中，当边界态不存在模式耦合时，耦合对于竞争关系的作用可被消除，基于该模型，文章展示了与理论预测完全一致的TDR-NHDR转变。

图1. （a） 厄米SSH模型。 t₁和t₂ 分别表示胞内和胞间的跃迁常数。 A和 B表示子格点。 （b-d） 周期性边界条件下（PBC）的能带图。 （e） 开边界条件下（OBC）的能谱图。 （f-i） 3个随机挑选的布洛赫体态分布图和不同参数下的两个边界态的分布图。（j）具有非互易胞间耦合的非厄米SSH模型，偏置量为 。（k-r）分别与（b-i）图相同的参量，对应了非厄米模型中的情况。共同参数:t₂=1。

具体的，如图1中模拟结果所示，从最基本的一维厄米SSH模型（图1（a））出发，可以得到周期性边界条件下的能带闭合点，即 |t₁|=|t₂|（图1（b-d）），这恰巧也是开边界条件下非平庸拓扑边界态的出现点（图1（e）），这就是拓扑物理中大名鼎鼎的“体边对应关系”。在这个点上系统产生了拓扑平庸和非平庸的相变，出现了局域在链边界上的零能拓扑边界态（图1（g-i）），其局域性特征与具有布洛赫波特点的体态（图1（f））完全不同，前者受晶格对称性保护分布在一维链的两端，而后者扩散于整条链上。另一方面，当系统存在非厄米性时（这里，非厄米性由胞间跃迁参数上的非对易偏置产生，如图1（j）所示），周期性边界条件下的能带闭合点（图1（k-m）显示能带闭合打开的过程，其中（l）对应能带闭合点）与开边界条件下的拓扑相变点（图1（n））在参数空间的位置出现了偏差，这一偏差表明了传统理论中“体边对应关系”的失效。除此之外，我们还观察到比较有意思的现象，即在非厄米调制下，本来在厄米系统中扩散的布洛赫体态在非厄米系统中变成了局域态，其分布趋向于链的左侧，这一现象就是非厄米趋肤效应（图1（o））。奇特的是，尽管拓扑边界态也发生了向链左侧趋肤的特征（图1（p-r）），但是与体态趋肤不同（只要存在非厄米性，体态趋肤就会发生），拓扑态的趋肤只有在非厄米性达到一定强度时才会发生；在非厄米性较弱的情况下，拓扑边界态还受晶格对称性保护，局域在链的两端（这里，非厄米强度可用偏置的大小或者胞内耦合强度t₁来表征）。这一现象展示了一种可能存在的能带拓扑（或晶格对称性）与非厄米性的竞争关系。

为了探索这种竞争关系，本文对拓扑边界态的演化进行了解析和数值分析。在热力学极限下可以解析地推导出一维非厄米SSH模型的零能边界态的表达式：

其中,代表在第i个原胞中的j格点上的波函数。式（1）表明了边界态在各个格点上的分布情况由两个传播系数决定。可以看出，当  时，边界态分布在一维链的两端，与厄米系统中受晶格对称性保护的边界态特征一致，我们将这一区域称为拓扑主导区（TDR，图2（a）中的橘黄色区域）。在这一区域之外，非厄米性增强，非厄米效应开始压制晶格对称性的保护，边界态受非厄米调制，向链的左侧趋肤，形成拓扑趋肤模式；当非厄米性完全压制了晶格对称性，非厄米拓扑相变发生，我们将这一TDR之外、非厄米拓扑相变发生之前的区域称为非厄米主导区（NHDR，图2（a）中的蓝色区域）。在这两个区域（TDR-NHDR）的转变线上，由于能带拓扑（或晶格对称性）和非厄米性的作用相当，拓扑边界态产生退局域化，形成与布洛赫体态特征类似的弥散分布。

图2（a）热力学极限下的TDR(橙色区域)和NHDR(蓝色区域)转变图。 外圆表示非厄米拓扑相变点。为了区分TDR-NHDT转变和拓扑相变，前者用虚线表示，后者用实线表示。（b） 时的卷绕数。 它的跃变清楚地标记了非厄米拓扑相变点。

这里，需要指出的是，本文所探讨的非厄米模型中存在两种转变：一种是非厄米拓扑相变，其特点是不能被周期性边界条件下的能带闭合点所预测，需要用非布洛赫能带论描述；另一种是参数空间中能带拓扑主导区域（TDR）和非厄米主导区域（NHDR）的转变。我们认为后者不属于拓扑相变，因为其产生的原因是非厄米与能带拓扑的竞争关系并且在转变前后的系统都是拓扑非平庸的。在图2（b）中，我们利用非布洛赫能带论推导计算了 时的非厄米拓扑相变点，可以看到与图1（n）中零能模式出现的位置对应，而与图1（l）中周期边界条件下能带的闭合点不对应。事实上，图1（l）中周期边界条件下能带的闭合点与我们这里TDR-NHDR的转变点是对应的。在这里，我们强调，虽然这一点不是非厄米拓扑相变点，但是它标志了能带拓扑和非厄米效应的平衡，边界态在这一点上出现了退局域化，有可能与最近报道的一种Edge burst现象相关（Phys. Rev. Lett. 128, 120401 (2022) - Non-Hermitian Edge Burst (aps.org)）。

在非热力学极限的情形下（即原胞数N有限），由于手征对称性的限制，两个边界态简并地处于零能，因此它们的模式耦合（杂化）效应将显著地影响其局域与分布特性。为了研究模式耦合对于本文所探讨的竞争关系的影响，本文定义了一个新的参量LD来描述两个边界态的分布情况，LD为两个边界态在SSH链左半个链的格点上的态密度之和，本质上是对于局域在链左端的态的一个计数：LD=1表示两个态分别局域在左右两端（标志着拓扑主导区），LD=2表示两个边界态都局域在链的左端（标志着非厄米主导区）。从图3中可以看出，模式耦合可以加速TDR向NHDR的转变，由于这一影响，TDR-NHDR转变线相比较图2（a）中的理论预测有所变化，导致的结果是非厄米主导区域的面积扩大了。进一步地，我们展示了两个零能模式在不同t₁下的分布图（图b-d））,与图1（p-r）展现出了相似的演化过程，也就是说随着t₁的增大（即随着非厄米性的增强），零能模式从拓扑边界态转变为了拓扑趋肤模式。图3（e-p）展示了在链更短的情况下，更强的模式耦合效应会进一步使得拓扑主导区减小，与图3（a）给出的结论一致。这里指出，由于这一耦合作用，局域于一维链右侧的边界态在非厄米作用下会将能量向左侧的边界态传输（见图3中的插图），导致在热力学极限情况下存在的边界态退局域现象在有限链长中不复存在；然而，当我们消除边界态的耦合作用，这一退局域现象又会重新出现（具体见下文关于平方根SSH模型的论述）。

图3. （a）数值计算的TDR-NHDR转变图。模型为长度为200个原胞的有限非厄米SSH模型。TDR（橘黄色区域）和NHDR （蓝色区域）分别对应着LD=1和2。虚线表示由非布洛赫能带理论给出的非厄米拓扑相变点。 带点的黑色实线箭头表示图（b-d）中所示的三个示例,给出了时增大t₁所得到的两个零能模式的分布图。插入图：对数尺度上A和B点波函数的模量，显示了TDR-NHDR转变过程中从右到左的能量传输。绿色和紫色的线表示两种边界（趋肤）模式。我们对更短链长下的情况也进行了研究，如图（e-h）N=70,（i-l）N=30 和（m-p）N=15中所示。

最后，本文提出了一类非厄米平方根SSH模型，发现在这种模型中，非简并的带间边界态之间不再有耦合作用，与此对应地，模式耦合对于竞争关系的作用可被消除。具体地，非厄米平方根SSH模型对于原非厄米SSH模型的哈密顿量进行了一个非平庸的平方根操作，为系统增加了一套子格点A’,B’（图4（a）），使得原本SSH模型的简并零能边界态变为了非简并的带间边界态（图4（b）中的红线），它们之间不再存在耦合作用。我们通过理论推导，解析地得出了该模型的带间边界态的表达式，进而得到了该模型的TDR-NHDR转变线为 ，与其母模型相同。进一步地，由于消除了模式耦合的影响，该模型在有限长度下展示了与理论预测完全一致的TDR-NHDR转变：如图4（c）所示，TDR-NHDR的数值计算转变线与理论推导的转变线完全一致，并且在转变线上观察到了完美的边界态退局域现象（见图4（e））。

图4.（a）平方根SSH模型。表示与非厄米 SSH模型中相同的耦合系数，但是在平方根模型中，耦合系数做了平方根运算。A,A’,B和B’ 表示4个子格点。（b）平方根模型在OBC条件下的能谱，体态用黑线表示，边界（趋肤）态由红线表示。在平方根模型中，边界（趋肤）态关于零能对称。（c）有限链长下的TDR（LD=0, 橘黄色）和NHDR（LD=2, 蓝色）转变图，带点的黑色实线箭头表示图（d-f）中所示的三个示例，给出了 时增大t₁所得到的两个零能模式的分布图。绿色和紫色实线表示这两种态。在TDR-NHDR转变线上出现了边界态的退局域现象（见图（e））。共同参数：

本文基于一维非厄米SSH模型，证明了在非厄米系统中，能带拓扑和非厄米性相互竞争，导致了在参数空间中从能带拓扑主导区（TDR）向非厄米主导区（NHDR）的明确转变，这一转变影响了非厄米拓扑系统中传统体边对应关系的适应性，揭示了非厄米拓扑相变的物理根源。我们进一步发现，边界态之间的模式耦合可以对非厄米效应的增强起到积极的帮助作用，在不同的系统中，模式耦合效应可以被激活或消除。我们的工作揭示了能带拓扑和非厄米性之间的基本相互作用，是非厄米拓扑物理的一种普适性的机制。这些结果可以推广到各种物理系统中，也可以推广到更高的维度。本研究得到了国家重点研发计划、国家自然科学基金、江苏省自然科学基金等相关项目的支持。

文章链接：

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.105.094103