PRL: 介观等离激元谐振腔的准简正模式展开理论：非经典电磁边界条件的解析处理

撰稿|由课题组供稿

对于特征尺寸介于电子的量子力学尺度和光波长尺度之间（约1-20 nm）的介观等离激元谐振腔，它的谐振特性受非经典量子效应影响显著。包含表面响应Feibelman d参数的非经典电磁边界条件（NEBC）可全面地描述系统中的非经典效应。近日，南开大学刘海涛教授课题组，建立了NEBC下非经典的准简正模式展开理论，其中，通过选取经典的准简正模式作为展开基函数，实现了对NEBC的解析处理，可用于直观、快速地分析非经典效应对介观等离激元谐振腔谐振特性的影响。相关成果以“Quasinormal Mode Expansion Theory for Mesoscale Plasmonic Nanoresonators: An Analytical Treatment of Nonclassical Electromagnetic Boundary Condition”为题发表于Physical Review Letters 129, 197401 (2022)。

URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.129.197401

近年来，随着对光与物质相互作用强度要求的提高和纳米加工工艺的进步，介观纳米尺度等离激元光学谐振腔引起了广泛的关注。由于特征尺寸（例如纳米间隙尺寸）接近电子的量子力学尺度，非经典量子效应对介观等离激元谐振腔谐振特性的影响变得显著，例如电子溢出/溢入、表面朗道阻尼、非局域响应等。这些非经典效应可采用表面响应Feibelman 和参数全面描述。通过采用Feibelman d参数修正经典的电磁边界条件（classical electromagnetic boundary condition, CEBC），提出了广泛适用于特征尺寸>1 nm的任意复杂等离激元结构的非经典电磁边界条件（nonclassical electromagnetic boundary condition, NEBC）[Nature (London) 576, 248 (2019)]。

对于介观等离激元谐振腔，其电磁响应满足的NEBC下麦克斯韦方程组通常难以解析求解，需要采用数值算法全波数值求解，例如有限元方法（finite element method, FEM）。然而，使用数值算法强力求解，难以直观地分析非经典效应对谐振的影响，并且计算量大。因此，有必要建立解析地依赖于NEBC的电磁理论，以实现直观、快速地分析非经典效应对介观等离激元谐振腔光学响应的影响，为理解相关实验现象和设计器件提供理论指导。

为了建立解析地依赖于NEBC的电磁理论，研究人员采用经典电磁边界条件（CEBC）下无源麦克斯韦方程组的本征模式作为一组完备的基函数，其求解已经发展出了丰富的数值和解析方法。对于等离激元金属纳米谐振腔，由于存在损耗，它的本征模式属于准简正模式（quasinormal mode, QNM）。研究人员从NEBC下麦克斯韦方程组出发，建立了非微扰NEBC下严格的QNM展开理论，给出了NEBC下非经典QNM和源激励的电磁场的展开表达式。进而，以得到的非经典QNMs为基函数，给出了NEBC下源激励的电磁场和格林函数张量的展开表达式，并由此得到了NEBC下自发辐射速率增强Purcell因子的表达式。由于采用了CEBC下经典QNMs作为展开基函数，上述表达式均解析地依赖于NEBC和经典QNMs。通过对比理论预测和全波数值计算结果，验证了理论的有效性，并显示了理论具有物理直观和计算效率高的优势。

如图1和图2所示，计算了平面波激励下，镜面上纳米颗粒（nanoparticles-on-mirror, NPoM）天线的电场增强因子EF（场点位于金天线和金基底之间的纳米间隙内）。其中红色曲线为忽略非经典效应（CEBC下）的结果，蓝色曲线为考虑非经典效应（NEBC下）的结果；圆圈为FEM全波数值计算结果，实线和虚线为理论预测结果。对于图1(b1)、(b2)和图2中计算的天线，理论展开表达式中，仅保留了NPoM天线支持的1个（图1）或2个（图2）高品质因子经典QNMs。此时理论预测具有较高的精度，表明这些高品质因子的经典QNMs对系统的电磁响应起主导作用。

图1 (a) 计算的单纳米线NPoM天线结构示意图，其中D=30 nm。(b) 平面波激励下，单纳米线电场增强因子EF的频谱曲线，(b1)-(b3)分别对应三组天线结构参数。

图2 平面波斜入射激励下（入射角θ=60^o），对称二聚体纳米线NPoM天线电场增强因子EF的频谱曲线。

图1、2中结果还表明，和CEBC下的经典结果相比，NEBC下电场增强因子频谱曲线的谐振峰出现了蓝移和展宽。为了获得对该现象的直观理解，研究人员采用提出的模式展开理论分析了NEBC对第p阶非经典QNM复数本征频率的影响。当近似忽略和经典QNM的损耗时，分析结果表明，导致，使得谐振峰蓝移，导致，使得谐振峰展宽。此外，理论表明，对于经典品质因子的QNM，NEBC将导致品质因子下降。并且，NEBC引起的QNM模式体积的改变量正比于的频率色散，对于频率色散弱的情形，NEBC对模式体积的影响可近似忽略。

图1(b3)中，将NPoM天线纳米介质层厚度减小到2 nm，这接近NEBC适用的最小尺寸。此时，和FEM全波数值计算结果（蓝色圆圈）相比，仅考虑1个高品质因子经典QNM的理论预测结果（蓝色曲线）出现明显差异，表明此时其它高阶经典QNMs的贡献不可忽略。通过增加经典QNMs的个数，理论预测结果变得精确，如粉色曲线所示。

图3中，计算了NPoM天线的自发辐射速率增强Purcell因子（Purcell factor, PF），其中自发辐射荧光分子描述为点电流源，如插图中红点箭头所示。研究人员使用提出的理论直观地分析了NEBC对PF峰值的影响。结果表明，PF峰值正比于，其中依次为非经典QNM的品质因子、实数谐振波长和模式体积，再根据前文所述的NEBC对这三者的影响，可得NEBC将导致PF峰值下降，如图3中曲线所示。

图3 (a) 单纳米线NPoM天线自发辐射速率增强Purcell因子PF的频谱曲线。(b) 对称纳米线二聚体NPoM天线的PF频谱曲线。

对于图2、3中计算的对称纳米线二聚体NPoM天线，由于结构的对称性，使得其支持的2个高品质因子经典QNMs的电磁场具有相反的对称性，这使得这2个QNMs之间不存在交叉耦合。而当打破结构的对称性后，不同阶经典QNMs之间将出现交叉耦合。而之前的理论由于采用了单模近似，因此忽略了该交叉耦合。根据本研究中提出的理论，研究人员发现，当2个经典QNMs的本征频率互相靠近时，该交叉耦合的贡献增大，变得不可忽略。如图4所示，对于非对称纳米线二聚体NPoM天线，当考虑该交叉耦合时，理论预测结果（蓝色曲线）精度较高，当忽略该交叉耦合时，理论预测结果（绿色曲线）精度较低。

图4 (a) 非对称纳米线二聚体NPoM天线支持的2个高品质因子QNMs的复数本征频率。(b) 平面波激励下，该天线的电场增强因子EF的频谱曲线。(c) 点辐射源激励下，该天线自发辐射速率增强Purcell因子PF的频谱曲线。

本工作提出了解析地依赖于NEBC的非经典QNM展开理论。利用该理论，揭示了NEBC和经典QNMs对介观等离激元谐振的影响。例如，理论显示了1个或少数几个高品质因子经典QNMs的主要贡献，解释了NEBC导致的PF谐振峰值降低，以及揭示了NEBC导致的不同阶经典QNMs之间的交叉耦合对谐振的影响。此外，由于该理论对频率、激励源和NEBC中Feibelman d参数的依赖关系高度解析化，因此，当扫描激励源频率、改变激励源形式（例如偏振和空间分布）或扫描Feibelman d参数时，该理论可以显著降低计算量，从而可用于大规模计算，例如逆向设计和金属纳米颗粒光力计算等。

为了方便感兴趣的读者使用本工作提出的NEBC下的QNM展开理论，研究人员在开源网站https://github.com/lhtphotonics/QNM_NEBC上传了复现图3(a2)和图4(c)中所有曲线的代码。

该论文的通讯作者为南开大学刘海涛教授，第一作者为南开大学博士生陶灿，南开大学电子信息与光学工程学院现代光学研究所为论文的第一完成单位。

该项研究工作得到了国家自然科学基金（批准号62075104、61775105）的资助。

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