前沿|南京大学陈延峰教授团队综述：声拓扑材料中多种新拓扑相及其物理效应的研究进展

Y. Chen, Z. Chen, H. Ge, C. He, X. Li, M. Lu, X. Sun, S. Yu, X. Zhang. Various topological phases and their abnormal effects of topological acoustic metamaterials. Interdiscip. Mater. 2023. doi:10.1002/idm2.12071

1. 前言

声学超构材料是一种人工微结构材料，它利用已有材料制成各种单元，并以此单元构成各种周期、准周期和无序的空间结构，从而构成一类新的宏观材料。这类材料能够实现传统声学材料难以实现的各种新颖效应和超越性能，为人们操控声波提供了新材料和新技术。自上世纪90年代国际上提出声子晶体和声学超晶格概念开始发展至今，人们发现了声学负折射、零折射以及声学慢波等一系列新的物理现象，设计出声学探测器、传感器等多种功能器件，并创造出如声学隐身、亚波长成像、非互易传输等传统声学材料所无法实现的超常效应。近年来，将拓扑概念与声子晶体结合，发展出声拓扑材料，为拓扑材料增添了新的家族，逐步形成了拓扑声学和自旋声学的新方向。拓扑是重要的数学分支，主要研究空间或几何体在连续形变下保持不变的性质。戴维·索利斯（David Thouless）等学者首先揭示出凝聚态物理中的量子霍尔效应深刻根植于拓扑概念，这之后拓扑物理学迅速发展。拓扑理论通过拓扑性质进行物相分类，颠覆了传统的以自发对称性破缺为标准的相变范式。2016年， 诺贝尔物理学奖授予戴维·索利斯（David Thouless）、邓肯·霍尔丹（Duncan Haldane）和迈克尔·科斯特利茨（Michael Kosterlitz），以表彰他们在“理论发现拓扑相变和拓扑相物质”方面的贡献，彰显出这一领域在当今物理学中的重要性。光/声领域紧随其后，也发展出一系列基于拓扑特征的新物相和新材料。声拓扑材料既表现出丰富的拓扑物相（图1），又蕴含巨大的应用潜力，具有重要研究价值。

图1. 拓扑声学超构材料中的不同拓扑相

2.拓扑概念

拓扑是数学的一个分支领域，研究不同形状的物体，例如环带vs莫比乌斯带，圆球vs面包圈等等。这些图形彼此之间不能通过连续形变互相转换，可以分别用不同的拓扑不变量去描述。拓扑学一个著名的例子是毛球定理，该定理指出，二维球面与圆环面不同，不存在连续且处处非零的切向量场，由此，可以定义拓扑的平庸与非平庸。而在能带理论中，布里渊区与本征矢量在数学上被定义为底流形与纤维丛，那么利用纤维丛理论也可以定义能带的拓扑平庸与非平庸，于是，拓扑就成为描述与分类不同能带的理论基础。进一步地，在不同维度，能带的拓扑分类不同。在一维或二维系统中贝里相、贝里曲率、贝里陈数是常见的用来描述拓扑不变量的概念，而对称性的引入会进一步扩展拓扑分类。此外，拓扑能带理论最引人注目的物理效应在于其体边对应性，即拓扑分类不同的绝缘体间的界面上会有边界态出现。可以通过求解一维狄拉克方程来验证不同拓扑分类下的边界态存在性。

图2. 拓扑概念（A）具有不同拓扑性质的几何结构；（B）毛球定理表明二维球面连续切向量场必然存在奇点，而等价于（C）中布里渊区的圆环面上奇点消失

3. 声学二维量子霍尔效应家族、三维声拓扑绝缘体和拓扑半金属

声拓扑材料发展初期，以凝聚态体系拓扑现象为主要学习对象。由于声子晶体能带结构中存在线性简并，可以利用声学体系研究狄拉克点附近的奇特物理，如弹道输运、震颤现象、克莱因隧穿、拓扑边界弧等。以此为基础，可以通过破缺时间/空间反演或引入自旋-轨道耦合等方式打开带隙（图3）。文章第三章总结了声学量子霍尔、能谷、量子自旋霍尔态等方面的研究结果，特别是由此引出的人工声1/2自旋和类费米子时间反演对称性的概念。具体的例子包括基于不同的层叠构建方式构造的几类三维声学拓扑态和三维声拓扑绝缘体的实验方案。同时，概述了三维声学拓扑半金属以及基于外尔半金属费米弧特性的无反射拓扑负折射现象。

图3. 不同对称性破缺打开狄拉克带隙及其相应的声学量子霍尔态。

4. 高阶拓扑

高阶拓扑绝缘体是指具有多级低维鲁棒传播边界态的声子晶体，如图4所示的2维高阶拓扑绝缘体具有1维和0维边界态，3维高阶拓扑绝缘体具有2维表面态、1维棱态和0维角态。实现高阶拓扑相有三类基本机制，分别基于多极子极化、偶极子极化以及多维度拓扑相变。文中列举了在实际实验系统中设计、实现以及表征高阶拓扑绝缘体的几个例子。需要指出的是，基于声学超构材料的高阶拓扑绝缘体的实例证明，这一类材料体系具有人工可设计和可调控性，为实验研究高阶拓扑物理提供了极佳的平台，一些重要的拓扑物理的理论预言通过声学材料体系得以证明。此外，还简要介绍了高阶拓扑半金属、高阶拓扑与合成维度、非厄米、非线性、非周期晶格等其他自由度结合所导致的更丰富的高阶拓扑现象。

图4. 高阶拓扑及其在不同维度上的特征

5. 非厄米拓扑

封闭系统遵循能量守恒，其哈密顿量保持厄米特征，因而确保了系统具有实验可测量的能量实本征值。对于实际系统而言，它们常常与外界存在能量交换，其哈密顿量无法再保持厄米特征，从而需要引入非厄米描述（图5）。伴随着拓扑物理的发展，非厄米也逐渐被引入到拓扑物理的研究中，催生了一类前沿研究，即非厄米拓扑物理。文章第五章总结了这一领域的发展。首先介绍了非厄米的引入以及其在有限参数空间中的研究，例如PT对称性和非厄米奇异点。以此为出发点，在周期晶格中引入非厄米特性，从而带来的新颖的非厄米能带拓扑。其中既包含无能隙的非厄米能带简并例如动量空间中的奇异点、线、环以及更复杂的节线等，也包含打开带隙后的非厄米拓扑相例如非厄米线带隙、点带隙及其对应的拓扑效应（如拓扑激光、非厄米趋肤效应、非厄米体边对应关系等）。

图5. 周期晶格中两种基本的非厄米方式，包含引入增益/损耗（上图）以及引入非对称耦合（下图）。

6. FLoquet拓扑与拓扑泵浦

声拓扑材料往往具有周期性人工晶格结构，可以视为一种空间上的调制。如果进一步在材料体系中添加时间调制，将会得到更丰富的物理效应。例如，周期性时间调制将会得到Floquet拓扑现象，以实现无需外加磁场的非零陈数拓扑相，而绝热近似下的时间调制将会导致拓扑泵浦，实现量子化拓扑荷传输。文章第六章从Floquet定理出发，解释Floquet以及反常Floquet拓扑相的理论基础，及其三种实验实现方案，即时间t调制，z方向波导管调制以及耦合环波导管（图6）。以此分类标准，介绍了这一领域若干结果。此外，还简要介绍了高阶Floquet拓扑相以及拓扑泵浦等现象。

图6. 声学Floquet拓扑目前主要实现手段。（A）时间t调制；（B）z方向波导管调制；（C）耦合环波导管

7. 弹性波拓扑

随着声拓扑材料发展，拓扑声子晶体的研究逐渐从流体（空气声）系统发展至固体（弹性波）系统。在固体中，声音的传播速度远高于空气，而相同频率下的传输损耗又远低于空气，这为拓扑物理应用于高频、微型化的集成声学器件提供了便利。与仅有纵波模式的流体声不同，固体弹性波具有三个方向的剪切模式，虽然这增加了设计调控的自由度，但也带来了复杂性。如何在固体中设计出“模式干净”的拓扑态？又如何制备出这些精巧的人工结构固体声拓扑材料？甚至是将其单片集成，以实现与传统声表面波、体声波器件的兼容？这些都是弹性波拓扑的研究重点。本文第七章介绍了固体弹性波拓扑材料的发展，重点介绍了在弹性波中实现的类量子霍尔效应家族的若干实验。其中借助固态“陀螺”实现时间反演对称性破缺及对弹性波赝自旋的实验显得犹为精细而巧妙。

图7.（A）借助声“陀螺”实现类量子霍尔效应；（B）（C）在AlN及LiNbO3晶体上实现的微结构弹性波拓扑器件

8. 准静态力学拓扑

拓扑态不仅能在声波/弹性波系统中产生，在准静态力学系统中同样可以产生。与弹性波系统类似，在准静态力学系统中实现拓扑保护态同样需要打破系统的空间反演对称性，使得系统形成松散模式（Floppy Mode，Soft Mode 或Zero Mode），自应力状态（State of Self-Stress）以及畴壁（Domain Wall）等。文章第八章首先介绍了如何在力学SSH模型中实现拓扑边界态，进而扩展到Maxwell晶格以及Maxwell网络，以及相应的如何实现拓扑缺陷、拓扑转换等。同时介绍了一些特殊准静态机械系统中的拓扑态，如折纸结构、鱼骨结构、Möbius环等。

图8. 准静态力学系统中的拓扑保护态

陈延峰

南京大学教授、博士生导师，现任南京大学固体微结构物理国家重点实验室主任，曾获国家杰出青年基金资助。担任国家自然科学基金委创新研究群体项目负责人、曾任国家973计划项目首席科学家。研究兴趣包含声子/光子晶体、超构材料。在Nature及子刊、Phys. Rev. Let.、PNAS、Science、NSR等刊物上发表文章260余篇。曾获国家自然科学奖二等奖1项（排名第1）、教育部自然科学一等奖2项。现任中国材料学会超材料分会副理事长，《物理评论快报》PRL编委、DAE。

卢明辉

南京大学教授、博士生导师，国家杰出青年基金获得者。研究兴趣包含人工微结构材料、超材料及其应用。以第一作者或通讯作者身份在Nat. Phys.、Nat. Mater.、Nat. Commun.、Phys. Rev. Let.、PNAS、Natl. Sci. Rev. 等国内外一流刊物上发表文章200余篇。