撰稿|由课题组供稿
近日，新加坡南洋理工大学物理与应用物理系张柏乐教授课题组与香港大学物理系赵宇心教授课题组合作，在拓扑声学研究领域取得新进展。研究团队首次实现了Stiefel-Whitney类型的拓扑相，成功观测了同时由第一类及第二类Stiefel-Whitney拓扑荷保护的节线（nodal line），及其分别对应的一节和二节拓扑边界态。相关研究成果以“Stiefel-Whitney topological charges in a three-dimensional acoustic nodal-line crystal”为题发表在期刊Nature Communications，南洋理工大学物理与应用物理系博士后薛昊冉为论文第一作者，赵宇心教授和张柏乐教授为论文通讯作者，南洋理工大学博士生程哲宇、博士后龙洋以及南京大学物理学院博士生陈至奕、香港大学博士后戴家晓亦对该工作有重要贡献。
周期性系统中能带的拓扑性质是近年来凝聚态以及经典波领域的重要研究方向。传统的拓扑材料，如陈绝缘体、外尔半金属、拓扑绝缘体，可被陈数（Chern numbers）及其衍生的拓扑数表征。在数学上，这类拓扑能带结构对应复数向量丛（complex vector bundles），描述其拓扑结构最基本的示性类（characteristic class）为陈类（Chern classes）。然而，当材料无轨道自选耦合且具有时空反演对称性（spinless PT symmetry）时，相应的波函数可被实数描述，对应实数向量丛。描述这一情况下材料的拓扑能带结构时，传统基于复数陈示性类的拓扑数不再适用，我们需要使用刻画实数向量丛的示性类，即Stiefel-Whitney类。过去几年中，关于Stiefel-Whitney类中的拓扑材料的理论研究不断发展，多种新奇的拓扑相被预测。因此，Stiefel-Whitney拓扑材料的实验研究是一个重要的研究方向，但具有第二类Stiefel-Whitney拓扑数的新奇拓扑态一直没有得到实验验证。
这一工作填补了上述空白，首次实现了一种特殊的节线半金属，其中的节线可同时具有非平庸的第一类和第二类Stiefel-Whitney拓扑数。这两个Stiefel-Whitney拓扑数可分别在系统的二维表面实现鼓面边界态（drumhead state）以及一维棱上的铰链态（hinge state），后者属于高阶拓扑半金属的现象（图1）。相比较而言，传统的节线半金属只能在二维边界上呈现一节的鼓面边界态。为了实现这种特殊的节线，我们使用了投影对称性（projective symmetry）的方法：在立方晶格中加入保持时间反演不变性的pi规范通量，使得平移对称性与镜面对称性被投影表示，形成高简并节点，然后通过在一个方向加入适当的二聚化微扰，保持PT对称性的同时破坏一个方向的平移对称性，从而将高简并的节点转变为理想的节线（图2）。研究人员将这一简单的模型在三维声子晶体中实现，并成功观测到了两类Stiefel-Whitney拓扑数所引起的拓扑边界态（图3及图4）。更进一步，由于该系统仅由PT对称性保护，因而系统的形状选取有很大的自由度，在极度不规则的情况下，仍可观测到由第二类Stiefel-Whitney拓扑数引起的拓扑铰链态（图5）。
图1 具有双重Stiefel-Whitney拓扑数的nodal line。（a）两个拓扑数可分别通过红色虚线与灰色球面来定义。（b）第一类Stiefel-Whitney拓扑数引起二维边界上的表面态。（c）第二类Stiefel-Whitney拓扑数引起一维边界上的表面态。
图2 晶格模型设计流程。（a）一个四重简并的狄拉克点可通过适当扰动转变为具有双重Stiefel-Whitney拓扑数的节线。（b）单个单元中投射对称性示意图。（c）到（e）通过一系列耦合二聚化过程将一个八重简并点转化为两个具有双重Stiefel-Whitney拓扑数的节线。
图3 鼓面表面态的实验观测。（a）实验样品图。（b）声子晶体元胞示意图。（c）数值计算的声子晶体的等频面，展现出一对节线。（d）到（f）实验测量得到的声子晶体表面色散，显示在体节线在表面的投影内具有表面态。
图4 铰链态的实验观测。（a）实验样品图。（b）和（c）数值计算得到的本征值与本征态，显示该样品具有一对铰链态。（d）至（g）实验测量得到的声子晶体铰链色散，显示在仿真预测的两条铰链上具有铰链态。
图5 非规则样品中的铰链态。（a）实验样品图。（b）样品构建示意图。可将图4中的规则样品的两个角裁剪掉得到该不规则样品，铰链态的数量也将从一对变为三对。（c）数值计算得到的本征值，显示有六个铰链态。（d）实验测量得到的所有铰链上的频谱，显示在仿真预测的六条铰链上有铰链态。
该工作首次实现了具有双重Stiefel-Whitney拓扑数的节线高阶拓扑半金属，观测并研究了两类Stiefel-Whitney拓扑数所引起的拓扑边界态，全面展示了具有完全实数的本征空间所具有的特殊的拓扑性质。这一研究成果为经典波系统中拓扑态的研究提供了新的思路。未来，更多PT系统中特有的拓扑相有待在经典波平台中实验发掘。与此同时，该工作中利用投影对称性设计复杂样品的思路也可被用于各种经典波系统中。实际应用方面，该工作中所发现的具有高度可调控性的铰链态可被用于可重构的声学器件。
论文链接：
https://www.nature.com/articles/s41467-023-40252-7
薛昊冉博士，本科毕业于南京大学（2012-2016），博士（2017-2021）及博士后（2021-2023）在南洋理工大学进行学习研究，主要研究方向为拓扑声学，拓扑光学及非厄米拓扑态。近年来研究成果发表于Nature, Nature Physics, Nature Materials, Nature Review Materials, Nature Review Physics, Physical Review Letters, Nature Communications等期刊，累计引用2500余次。薛昊冉博士即将作为助理教授入职香港中文大学物理系，欢迎具有相关背景的博士生及博士后加入我们，有意者可直接联系薛博士（haoran001@e.ntu.edu.sg）进行咨询。
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