撰稿|刘癸庚、郗翔
近日，新加坡南洋理工大学张柏乐教授、Chong Yidong教授联合浙江大学杨怡豪研究员和电子科技大学周佩珩教授等课题组，研究推广了非厄米陈绝缘体的体边对应关系，并且发现手性边缘态的局域化等现象。研究成果以“Localization of chiral edge states by the non-Hermitian skin effect”为题发表在物理学顶尖期刊《Physical Review Letters》上。南洋理工大学刘癸庚博士、Subhaskar Mandal博士、电子科技大学周佩珩教授、东莞理工学院郗翔副教授为论文共同第一作者。南洋理工大学张柏乐教授、Chong Yidong教授、浙江大学杨怡豪研究员为共同通讯作者。此外，浙江大学陈红胜教授、南京大学王强副教授、南方科技大学高振副教授等也为本工作做出了重要贡献。
1980年，德国科学家Klaus von Klitzing首次观测到了量子霍尔效应，显示出二维电子气在强磁场下呈现出朗道能级，并且在材料边缘存在具有严格单向传输性的手性边缘态。在之后的1982年，D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, 与 M. den Nijs（TKNN）进一步阐述了磁化后的二维电子气在动量空间表现出的拓扑性质，并且可以通过数学大师陈省身先生提出的陈数（Chern number）概念来描述。更为重要的是，他们揭示了手性边缘态的数量正好等于费米能级以下所有朗道能级的陈数总和，且其传播方向由陈数的符号决定。这一发现，被称为TKNN公式，或体边对应关系（bulk-edge correspondence），成功地建立了二维电子气的体态与边缘态特性之间的联系。
1988年，Duncan Haldane提出了一个紧束缚模型（即Haldane模型），表明即便在总磁通为零的周期性系统中，能带也可以拥有非零的陈数，并在边缘展现手性边缘态。此模型展示的现象被称为量子反常霍尔效应，该效应于2013年由薛其坤院士领导的团队在实验中首次被观测到。量子反常霍尔效应是陈绝缘体的一种表现形式，即其能带具有非零陈数的绝缘体。值得一提，Klitzing、Thouless和Haldane因其在拓扑物理的开创性工作均获得了诺贝尔物理学奖。
TKNN体边对应关系是拓扑物理学中的一个核心概念，具有广泛的应用范围。在二维体系中，它不仅适用于描述量子霍尔效应和量子反常霍尔效应，还可以用来解释量子自旋霍尔效应和量子谷霍尔效应中的边缘态（其中量子自旋霍尔效应可以视为两个具有相反陈数的陈绝缘体的重叠）。对于三维体系，该对应关系能够描述各类半金属（如外尔半金属和狄拉克半金属）的表面态，以及三维量子霍尔效应和三维量子反常霍尔效应的表面态，方法是将动量空间中的不同二维切面视作独立的二维系统。此外，体边对应关系同样适用于经典波动体系，如拓扑光学和声学系统中的现象。
对于一个陈绝缘体，所研究带隙下所有能带的陈数之和若非零，则该带隙被认为是拓扑非平庸的。在这种情况下，尽管体态本身是完全绝缘的，即不存在于体内的模式，但在材料的边缘上会呈现手性边界态。传统观点认为，这些手性边界态是不可被局域化的，其本征模式的能量会在边界上均匀分布。例如，在一个正方形几何构型的陈绝缘体中，边缘态的本征模式能量会在四条边上均匀分布，如图1的中心图所示。
图1：拓展后的非厄米陈绝缘体的体边对应关系
然而，本项工作中的作者发现，上述观点只适用于传统的能量守恒的系统，即这个系统是厄米的。对于能量不守恒的非厄米陈绝缘体，边缘态的本征能量可以局域在任意一条边或者任意一个角落上，具体位置由非厄米陈绝缘体的两个缠绕数（winding number）决定。对于非厄米陈绝缘体，它的体边对应关系应该拓展为如图1所示，既包含了传统的厄米陈绝缘体，也包含了非厄米的情形。为了完整的表征一个非厄米陈绝缘体，对于第n个带隙，作者定义一个杂化的拓扑不变量来表征：
其中边缘态的数目与带隙的陈数Cn相同，边缘态本征模式的位置由缠绕数决定。当两个缠绕数均为0，则能量均匀分布在四周，对应传统厄米情形和部分非厄米情形。若只有其中一个缠绕数为0，则能量局域在一条边上。若两个缠绕数均为0，则局域在一个角落上。
为具体演示这种体边对应关系，作者设计了一种基于磁性光子晶体的光学陈绝缘体。通过调节光学陈绝缘体内部的损耗分布，构建了多种具有不同缠绕数的非厄米陈绝缘体。第一个设计的光子晶体单元如图2（a）所示，它由三个磁性铁氧体组成，其中上方两个铁氧体周围的背景材料损耗较小，最下方的铁氧体周围的背景材料损耗更大。这种结构打破了y方向的镜面对称，但保持了x方向的镜面对称。图2（b）中的蓝色区域是这种光子晶体的体态本征频率在复频率面上的分布情况，显示在15.3 GHz和17.2 GHz附近拥有完全的线带隙（line gap）。进一步计算表明这两个带隙的陈数分别为-1和1。对于如图2（c）所示的有限结构，通过在四周施加完美导体边界以使它呈现开放边界（open boundary condition, OBC）,即可得到开放边界下的本征频率，如图2（b）中的黑色菱形符号所示。可以看出，在第二个和第三个line gap中，出现了边界态。有趣的是，通过分析带隙内边界模式的本征能量，可以发现它们分别局域在了右边界和左边界，如图2（d）所示。
图2：一维边界局域化手性边界态的结构设计
为了分析这种局域边缘态的物理来源，作者分析了如图2（e）所示的超胞结构，即x方向保持周期边界（periodic boundary condition, PBC），y方向保持开放边界（x-PBC/y-OBC）,得到的本征频率如图2（f）所示。可以看出，在第二个和第三个gap里面，本征频率均呈现出环状结构（loop），并随着kx的增大分别沿逆时针或顺时针方向演变。边界态的本征能量如图2（g）所示。本质来讲，这些环的产生是因为上边界和下边界的边界态具有不同的损耗，因此在复频率面内呈现出不同的虚部。这些环内部形成的点带隙（point gap）可以通过缠绕数进行表征。对于第二和第三带隙中的环，其缠绕数分别为1和-1。这些非平凡的缠绕数导致在x-OBC/y-OBC条件下的边界态沿x或-x方向展现非厄米趋肤效应。
对于图2（h-j）中对应的y-PBC/x-OBC情形，未观察到非平庸的点带隙。原因在于这个系统满足x方向的镜面对称，在左右边界上沿着y方向传播的边界态具有相同的损耗和虚部，因此在x-OBC/y-OBC条件下不具有沿着y方向的非厄米趋肤效应。上述结果的整体效果便是使得手性边缘态在完全开放边界条件下局域在右边界或者左边界，如图2（d）所示。
实验所加工的样品如图3（a-b）所示。为了激发这种局域化的手性边缘态，作者分别在左边界和右边界附近放置了一系列点源，并分别扫描每个点源激发的场分布，然后将所有点源激发的场分布的强度进行叠加。当点源位于右边界且激发频率位于第二个带隙（15.3 GHz）时，得到的场分布如图3（c）所示，显示边界态局域在右边界。为了展示这种局域化具有频率选择性，研究人员还绘制了局域在右边界的能量（图3（c）中的青色方框）在整个样品中的能量比例，如图3（d）所示。结果表明，仅在第二个带隙的频率范围内，边界态在右边界具有明显的局域性。类似地，当点源置于左边界时，仅在第三个带隙范围内观察到明显的左边界局域性，如图3（e-f）所示。
图3：一维边界局域化手性边界态的实验观察
进一步地，作者又构建了一个光子晶体单元如图4（a）所示，它在x方向和y方向的镜面对称性均被打破，因此无论对于x-PBC/y-OBC还是y-PBC/x-OBC情形均具有非平庸的点带隙和缠绕数（图4（b-d））。进一步地，x方向和y方向同时存在的非厄米趋肤效应使得手性边界态局域在零维角落上，如图4（e-f）所示。图4（g-j）中的实验结果验证了这种猜想。
图4：零维角态局域化手性边界态的结构设计与实验观察
这项工作改变了陈绝缘体的手性边缘态无法被局域化，且本征能量均匀分布在边界上的传统观念。对于非厄米陈绝缘体，通过调控其内部的增益损耗分布，使得陈绝缘体的边界态具有非平庸的点带隙和缠绕数，可以使得这些边界态在非厄米趋肤效应的作用下局域在任意一条边或者一个角落上。这项工作不仅扩展了陈绝缘体的体边对应关系，还展示出手性边缘态丰富的局域特征。这些局域化的手性边界态，可以用于新型激光器和能量收集器的设计与构造。此外，理论上讲，这一拓展的体边对应关系适用于所有的陈绝缘体体系，期待未来能够观测到凝聚态体系中电子的非厄米局域化现象。
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刘癸庚博士，本科毕业于南开大学物理伯苓班，博士毕业于新加坡南洋理工大学物理与数学学院，即将加入西湖大学担任助理教授。研究成果以第一/通讯作者发表于Nature、Nat. Commun.（两篇）、Phys. Rev. Lett.（四篇）、Light Sci. Appl.、Natl. Sci. Rev.等期刊。未来研究方向包括但不限于拓扑物理（基于微波、太赫兹、光学、声学、电路等体系）、非厄米物理、光子晶体、超材料、非线性光学等相关领域。
文章链接：
Phys. Rev. Lett. 132, 113802 (2024) - Localization of Chiral Edge States by the Non-Hermitian Skin Effect (aps.org)
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.132.113802
