实验上成功利用一维声子晶体实现满足四元数群运算的非阿贝尔拓扑结构

复数可以看作由1和两个基矢构成的二元数，用来表示二维空间中的旋转。如果要表示三维空间中的旋转，就必须添加基矢。19世纪，爱尔兰数学家、物理学家哈密顿（物理学中哈密顿量也因其得名）发现，只添加一个新基矢构成 “三元数”无法满足要求，需要添加两个基矢构成“四元数”才足以描述三维空间旋转。四元数可用于量子力学、电动力学的研究，同时也是描述量子逻辑门运算的重要工具。哈密顿本人也把四元数视作自己最为满意的工作。

构成四元数的四个基矢相互之间乘法运算封闭，构成了“四元数群”，如图1所示。

图1. 四元数与四元数群。

四元数群本身的数学性质十分有趣，是非常有代表性的“非阿贝尔群”。在数学上，“阿贝尔”用作形容词，表示“满足交换律的”，例如整数加法群满足交换律，因此是阿贝尔的； “非阿贝尔”则表示“不满足交换律的”，例如四元数群。但同时，它的所有子群又都是正规子群，这在非阿贝尔群中并不常见。同时满足这两个条件的群被称为Hamilton群，四元数群是最小的Hamilton群。除此之外，四元数群还具有solvable，nilpotent，metacyclic等有趣的数学性质。

近日，南京大学固体微结构物理国家重点实验室和现代工程与应用科学学院何程、陈延峰团队以" Non-Abelian Topological Phases and Their Quotient Relations in Acoustic Systems"为题在Physical Review Letters上发表文章，率先在一维经典声波系统中实现了满足四元数群运算的拓扑结构，将这一抽象数学概念在经典波系统中进行了诠释，或将扩展非阿贝尔拓扑在声学方面的应用。

基于人工微结构对声子能带进行设计和剪裁，进而调控声波的模式、频率、波矢、位相等参数，是实现声探测、激发、传播和应用的重要途径。近年来，人们发现能带的拓扑结构为声波的调控提供了新的自由度。拓扑性质极大地提高了材料对加工过程出现的误差冗余以及缺陷杂质的免疫性和鲁棒性，因而具有巨大的应用潜力。

以往拓扑能带的研究大多是阿贝尔的，表现为拓扑数可以湮灭或者累加。如图2a所示，两条能带之间形成简并点并具有拓扑荷。相反拓扑荷湮灭，打开带隙，而相同拓扑荷累加，能带由线性简并变为二次型简并。对于三能带实本征态系统，拓扑分类可以用四元数群来刻画，因此不同带隙之间的拓扑荷会发生具有非阿贝尔特性的“缠绕”现象。如图2b所示，二三能带间一个简并具有拓扑荷 ，一二能带间简并具有拓扑荷，同一能带之间的拓扑荷仍然发生湮灭。而相互作用会发生缠绕，其结果是拓扑荷变号。缠绕之后的系统，一二能带拓扑荷同为，两 碰撞之后不再湮灭，而是形成-1 的二次型简并拓扑荷。这种能带拓扑荷缠绕是非阿贝尔拓扑的特征，有望用于拓扑量子计算等前沿领域。

图2. 阿贝尔拓扑与非阿贝尔拓扑。

不同于二维或三维系统中的多拓扑荷混杂情形，一维系统仅包含一个拓扑荷，拓扑性质由局部特性提高为全局特性，变为拓扑相。此时非阿贝尔拓扑性质表现为不同拓扑相之间的界面态。这种界面态往往存在于较宽的体带隙中，因此易于直接观测；同时，一个系统仅具有一个拓扑荷，不会出现多个拓扑荷相互干扰的情况；此外一维系统加工简单，有利于将来可能的应用。但是，一维系统自由度少，增加了实现非阿贝尔拓扑荷的难度。已报道的工作发现，可在电路系统中方便地调控虚耦合构建时空对称以实现非阿贝尓相，但这对声学系统却颇具挑战。