Science Bulletin | 三维声子晶体里的布里渊克莱因空间和半旋转空间

南方科技大学高振副教授团队联合武汉大学刘正猷教授团队提出并在三维声子晶体中实验观测到了布里渊克莱因空间 （Brillouin Klein space）和半旋转空间（Half turn space）。该成果发表在Science Bulletin 2024年第13期。

描述周期性介质中波行为的布洛赫能带理论和布里渊区是当代物理学的两个基石。最新的理论表明，在人工规范场引起的投影对称性表示下，通常的二维布里渊区（定向布里渊环面）可变成一个具有完全不同流形拓扑结构的不定向布里渊克莱因瓶。然而，人工规范场是否可以改变传统三维布里渊区（定向布里渊三环面）的拓扑流形尚未有任何报道。

该研究通过构建人工规范场，在三维声子晶体中首次实验观测到拓扑能带结构的三维动量空间非点式螺旋旋转和滑移镜面对称性，可将传统三维布里渊区的三环面空间约化为非定向布里渊克莱因空间和定向布里渊半旋转空间。此外，该研究构建了一个堆叠的三维声学克莱因瓶绝缘体，它的两个相对表面上的拓扑表面态可以通过非局部扭曲相关联且具有拓扑自准直特性。这些研究成果不仅拓展了三维布里渊区的基本域和拓扑流形，而且推动了动量空间多维流形拓扑和基于对称性投影表示的拓扑物理研究。

图1 立方晶格模型的布里渊半旋转空间和克莱因空间。（a）紧束缚模型在x和z方向的空间镜像操作Mx和Mz以及规范变换G的作用下是不变的。（b）具有三维动量空间螺旋旋转对称性的布里渊半旋转空间。（c）具有三维动量空间滑移反射对称性的布里渊克莱因空间。箭头的方向和颜色的亮、暗表明了半个三维布里渊区的相对面的“粘合”方式。（d），（g）立方晶格模型的等能面的动量空间螺旋旋转和滑移反射对称性。（e）,（f）分别固定在k_y = −0.5π和k_y = −0.5π+π的等能线。（h）,（i）分别固定在k_z = −0.5π和k_z = −0.5π+π的等能线。

图2 布里渊半旋转空间和克莱因空间的实验观测。（a）样品的照片。（b）三维声子晶体的单胞示意图。（c）6个彩色平面分别是从三维布里渊半旋转空间（①-③）或克莱因空间（④-⑥）切割而来的二维布里渊区。（d）-（i）分别对应于图（c）中6个二维布里渊区切面的实验（颜色图）和模拟（绿线）的体能带结构的等频色散图。

高振 南方科技大学副教授。主要研究方向包括拓扑光子学/声学/电路、超构材料、光子晶体、非厄米光学/声学、太赫兹光学、光学连续域束缚态等，在三维拓扑光子学领域做出了一系列开创性工作，包括实现首个三维光学拓扑绝缘体、三维光学陈绝缘体等。

刘正猷 武汉大学教授。主要从事声学及声学与凝聚态物理交叉领域的研究，在声子晶体、声学超材料、拓扑声学等方面做出了一系列基础性、原创性的工作，包括首次实现局域共振型声子晶体、声学能谷拓扑绝缘体和外尔声子晶体中表面声波的拓扑负折射等。

Zhenxiao Zhu, Linyun Yang, Jien Wu, Yan Meng, Xiang Xi, Bei Yan, Jingming Chen, Jiuyang Lu, Xueqin Huang, Weiyin Deng, Ce Shang, Perry Ping Shum, Yihao Yang, Hongsheng Chen, Kexin Xiang, Gui-Geng Liu, Zhengyou Liu, Zhen Gao. Brillouin Klein space and half-turn space in three-dimensional acoustic crystals.  Science Bulletin 2024;69(13):2050-2058

https://doi.org/10.1016/j.scib.2024.05.003