经典波动系统借鉴凝聚态物理学中的概念，通过精心设计系统间的耦合相互作用，使得系统展现出自然界中未曾出现的新颖特性。典型实例包括声子与光子晶体以及在力学、声学和光子学域中崭露头角的拓扑绝缘体。拓扑系统的优势在于其内在的鲁棒性，表现为受拓扑保护的边缘态，可以抵抗干扰且对缺陷免疫。然而，这些成果大多局限于波动系统的框架之内，成功的关键因素之一在于经典波动方程与薛定谔方程之间形式上的相似性。对于封闭系统而言，哈密顿量的厄米性保证了实特征值及相应的稳定特征态。相比之下，扩散系统难以利用这种鲁棒性，因为它们本质上属于耗散性、反厄米系统。由于扩散场本身的局限性，在现有热拓扑研究中，大多数是在复频域能带的虚轴上打开带隙，而边缘态表现为从初始特定温度分布逐渐向最终均匀状态过渡的耗散过程。因此，热拓扑现象似乎与传统波动拓扑中观察到的现象存在明显差异。为了解决这一难题，该工作提出了一种策略，旨在设计出与波动系统数学等价的扩散系统。通过引入额外维度并设计耦合关系，构建了热学中的SSH和四极子模型，观察了局域和非局域的拓扑态。
(图1A)；而对于扩散过程，势场满足扩散方程
。可以看到波动方程中的二阶时间导数在扩散中变成了一阶时间导数，使得扩散势场不具备传播特性而呈现为原位衰减(图1B)。若将这些方程改写为薛定谔方程
的形式，对于封闭的波动系统，哈密顿量是厄米的(𝐻=𝐻†)，其特征值是纯实数，代表波的频率；而扩散系统是自然开放系统，具有反厄米的哈密顿量(𝐻=−𝐻†)，其特征值是纯虚数，其模量对应于衰减率。既然这两种系统的本征值相差一个虚单位i的因子，那么是否可以将这两种系统相互转换，例如，构建一个像波系统一样允许行波输运的扩散系统？如果可行，则在量子系统和经典系统中观察到的那些新颖的拓扑现象也可以在扩散系统中进行探索，从而有利于热或质量的鲁棒输运。
为实现这一愿景，该工作提出了一个方案(图1C和1D)。对于图1C所示的波动系统中的一维晶格的耦合关系，可以在扩散系统中以图1D所示的耦合关系来等效实现。其中s轴表示引入的额外维度，由于s方向的周期性边界条件和精心设计的反对称耦合，可以证明其等效耦合系数获得了一个公因子“i”，可以作为将系统特征值在实与虚之间转换的桥梁。如前所述，扩散系统的本征值与波动系统的本征值相差“i”。因此，采用图1D中晶格的扩散系统将与图1C中的波动系统共享相同的等效数学结构，并表现出类似波的性能。此外，通过调整跳变系数，可以在实际频率下设计出合适的频带结构。以著名的SSH模型为例，交错跳变在体动量空间中打开了一个间隙，如图1E所示。在拓扑非平凡的情况下(胞内跳变v′<胞间跳变w′)，体界对应关系预测了在开放边界条件下存在局域于边缘的零能态。接下来通过增加一个额外的“s”维，在扩散系统中复刻了这个模型，并在图1F中绘制了特征值。只关注特定波数ks处的横截面，图1E和1F中的能带完全一致(都是实频率)，证明了两个系统在给定波数ks处的等价性。
图1 具有纯实特征值的扩散系统的设计。(A和B) 波动(A)和扩散(B)的特征。由于控制方程形式的不同，波动/扩散系统的特征值是实/虚的。(C和D) 构造扩散系统(D)的策略，使其特征谱在数学上等同于波系统(C)。在扩散系统中引入了标记为“s”的额外维度，其中设计的跳变关系使有效哈密顿量包含虚单位“i”的因子，将系统特征值从虚转换为实。(E)波系统的一维SSH链的能谱，其中交错跳变在体动量空中打开了一个能隙。(F)扩散体系下准一维SSH模型的能谱，其特征值均为实数。(F)在特定ks的横截面的能谱与(E)相同，证实了两个系统的等价性。
利用上述设计原理，可以构建各种支持动态波状传热形式的热拓扑晶格，特别是非厄米系统中拓扑边缘态的局域化和非局域化。非厄米SSH链如图2A所示，胞内跳变v1'和v2'是非互易的，其能谱在复平面上形成环路，如图2B所示。链在拓扑上的非平凡性可以从开放边界条件下固定在零能量的拓扑模中看出。然而，随着v2'的增加，拓扑零模的波函数从左端局部化转变为右端局部化，并通过一个临界值，也称为布洛赫点，表现为扩展到体中的特征场(图2C)。该模型的等效热晶格如图2D所示，用COMSOL Multiphysics构建晶格并演示热系统中局域和非局域拓扑态的表现(图2E)。仿真结果证实了理论预测，表明边缘态是实频的并且能长时间稳定存在，这可以从标记位置随时间变化的波状温度曲线中反映出来。
图2 拓扑边缘态的局域和非局域。(A) 非厄米SSH型。(B) 不同非厄米参数下的特征谱。(C) v2'= 1、2、4 和 6 时拓扑零模的波函数幅值。扩展模式出现在v2'=w'处。(D)准一维非厄米SSH热晶格。(E) 局域态(v1= v2 < w)和扩展态(v1 < v2= w)的模拟温度分布，以及温度幅值的空间分布。图中还显示了标记点的温度随时间的演化曲线。
该工作给出了准一维热晶格的实验展示，来验证上述发现。实验晶格由9×3块单元阵列组成(图3A)，其中每列的3个位点(沿s方向)采用周期性边界条件。每个单元由一块铜块、其上的温度传感器和其下的热电制冷片(TEC)组成。位点之间的耦合是通过驱动电压控制的可编程热功率来实现的，功率值是根据传感器返回的实时监测温度进行计算的。在最左边的列的温度设置为正弦变化，作为信号源。首先测量了厄米SSH模型的拓扑边缘态，特定时间的温度分布如图3B所示，可以观察到态在左侧边界的局域化。接下来设置了引入非互易跳变的非厄米SSH模型，并测量温度分布如图3C。可以看到，拓扑零模被重新配置为从边界扩展到体中。
图3 热晶格中拓扑态的实验观察。(A) 准一维热晶格。将最左边三个位点的温度设置为正弦变化作为激励信号。(B) 厄米SSH情况下局部态的温度分布(v1 = v2 < w)，以及实测的平均温度幅值的空间轮廓。(C) 非厄米SSH情况下(v1< v2 = w)扩展态的温度分布和空间轮廓。
同理，使用所提出的策略可以在扩散系统中构建各种拓扑格，例如热四极子，以实现实频率下的拓扑角态。给定图4A中的四极子模型，在扩散系统中等效实现它的相应准二维晶格如图4B所示。图4C是9×9晶格的能谱。对于有奇数个位点的开晶格，总存在一个拓扑零模。图4D给出了不同非厄米参数下对应的波函数分布。
图4 热四极子晶格中的局域和非局域的拓扑态。(A) 二维非厄米四极子模型。(B) 对应的准二维热四极子晶格。(C) 晶格在不同非厄米参数下的特征谱。(D) 热四极子晶格中拓扑态的波函数：局域角态(蓝框)；x方向的扩展态(绿框)；x和y方向的扩展态(红框)。
该工作提出了一个开创性的策略来弥合波动系统和扩散系统之间的差距，建立了一个在扩散状态下实现稳定动态输运的范例。从扩散系统到类波系统的转换是通过引入实空间的周期性维度来实现的，从而能够创建类似于各种拓扑晶格的热学对应。实验实现了一个主动热晶格，并观察了局域和非局域的拓扑态。此外，该晶格是可编程的，具有任意设置的耦合系数，从而可以灵活地切换拓扑相位和拓扑模式。该工作强调了扩散系统作为观察拓扑现象平台的可能性，并为在各种扩散应用中发展拓扑工程开辟了新的途径。
文章信息
Jiaxin Li, Chengxin Xu, Zifu Xu, Guoqiang Xu, Shuihua Yang, Kaipeng Liu, Jianfeng Chen, Tianlong Li & Cheng-Wei Qiu.Localized and delocalized topological modes of heat. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 121, e2408843121 (2024). https://doi.org:10.1073/pnas.2408843121
https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2408843121
