近日，宾夕法尼亚州立大学、复旦大学与南京大学合作，在非厄米系统的实验探测方面取得重要进展。研究团队在声学平台上直接测量了二维非厄米晶格的复能谱以及左、右本征态分布，实验观测到互易晶格中的复能谱相变，以及非互易晶格中的本征态偏斜等关键现象。尽管实验平台是声学晶格，但所提出的格林函数测量方法对所有经典波动系统乃至某些量子平台都具有普适性。该工作不仅使复杂谱拓扑以及左本征态在实验上可见、可定量，而且为在多种物理平台中探索复杂谱特征和非厄米动力学提供了一套通用、灵活的实验框架。
该工作以“Experimentally probing non-Hermitian spectral transition and eigenstate skewness”为题发表于Physical Review B，并被选为Editors’ Suggestion。论文第一作者为宾夕法尼亚州立大学钟家鑫博士后，通讯作者为卢晶教授、丁鲲教授和Yun Jing教授。其他作者包括宾夕法尼亚州立大学的博士生Jeewoo Kim和南京大学的陈锴副教授。该工作得到了国家自然科学基金和美国NSF等项目的资助。
从实能谱到复能谱的挑战
在传统的厄米体系中，系统的能谱是实数，本征态彼此正交，能带结构也往往可以在动量空间中清晰描绘。然而，在存在损耗、增益以及非互易耦合的开放系统中，更自然的描述是非厄米哈密顿量。此时，本征值一般为复数能量，实部对应振荡频率，虚部描述增益或衰减；本征态则成对出现为左、右双正交本征态，从而催生出一系列仅存在于非厄米体系中的新现象。
近几年，非厄米皮肤效应、点隙拓扑、极端谱敏感性等概念不断涌现，表明复平面中的谱拓扑结构在决定系统物理性质方面发挥着核心作用。与一维系统相比，二维及更高维度的非厄米晶格呈现出更加复杂的谱几何结构：能谱不再是一条条能带，而是在复平面上形成具有内部结构和边界依赖性的二维“能谱图案”。与此同时，系统的几何形状、边界条件以及互易/非互易性质共同参与决定谱拓扑行为，使得高维非厄米谱的实验探测尤为困难。
基于格林函数的复能谱测量与高维非厄米现象观测
本工作基于声学二维晶格平台（图1），提出并实现了一种格林函数驱动的非厄米谱测量方法，在实验上直接获取了高维非厄米系统的复能谱以及左、右本征态分布，并揭示了两类具有代表性的高维非厄米现象：非互易晶格中的本征态偏斜与谱收缩，以及互易晶格中的几何驱动谱相变。核心亮点可以概括为以下三点。
图1. （a）示意图：探测非厄米系统的复能谱与本征态。（b）7×7非互易非厄米晶格示意图，x方向为开放边界（OBC），y方向为周期边界（PBC）。激励源沿白色路径依次扫描，各晶格点上的探测器同步测量频率响应，从而获得完整的格林函数矩阵。
亮点一：格林函数全场测量→ 复能谱与双本征态“一次到位”
在方法层面，该工作搭建的是一个完全可编程的二维声学晶格（图1）：每个晶格点是带有扬声器和麦克风的小腔体，通过外围的有源电声网络可以精确设定各个方向上的“跳跃强度”和“在位势”，从而实现不同类型的非厄米哈密顿量。与以往只在少数激励点和探测点之间测量响应的做法不同，这里采用的是“全泵浦–全探测”的格林函数测量策略：让每一个晶格点依次作为激励源，同时在整个晶格上的所有腔体同步记录幅度和相位随频率变化的响应。对一个7x7的二维晶格来说，这意味着要采集2000多条不同的激励–探测通道。所有这些数据共同构成了系统的格林函数矩阵，它包含了系统在给定频率下的完整线性响应信息。如图2所示，通过对这一矩阵的分析，能够在实验上直接重构出整个系统的复能谱分布，并且重构出每一个本征模对应的左、右本征态在实空间中的强度分布。也就是说，过去通常需要依赖理论模型和数值拟合才能间接推断的量，现在可以通过一次系统性的全场测量在实验上直接得到。这种以格林函数为出发点的思路与平台本身的声学属性无关，因此非常容易迁移到其他波动体系中。
图2. 基于格林函数的复能谱与本征态测量方法示意。（a）测得的格林函数本征值的幅度分布。（b）由格林函数重构得到的复数能谱。（c）对应的左、右本征态空间分布，用于计算本征态偏斜度，从而定量表征非互易性诱导的强烈本征态偏斜。
亮点二：非互易二维晶格中的谱收缩与本征态偏斜
在非互易二维晶格中，本工作利用这套工具系统地观察到了能谱和本征态形态的变化。在非互易耦合存在的情况下，能量有偏向某一方向输运的倾向，表现为显著的非厄米皮肤效应。通过比较不同边界条件下的复能谱（图3），实验结果清晰地显示：当系统从双周期边界逐步过渡到混合边界，再到双开放边界时，能谱在复平面上的分布区域出现明显的“收缩”和“嵌套”，即开放边界下的谱区域被包含在混合边界对应的区域之内，而后者又被包含在周期边界对应的较大区域之中。这种层级式“谱收缩”与近年来关于非厄米谱拓扑的理论预言高度吻合，表明二维非互易系统中的谱拓扑结构可以在实验中被直接“画”出来。更关键的是，本征态本身展现出极端的非正交性：右本征态显著地堆积在二维晶格的某一个角落，而左本征态则集中在对角线另一端的角落，两者在空间上几乎“错开”。本工作引入本征态偏斜度这一定量指标来表征这种错位程度，测得的数值表明系统处于强烈的本征态偏斜状态。这一结果将非互易非厄米体系中广泛讨论的“皮肤效应”和“本征态偏斜”从理论图像真正变成了可以直接观测和量化的实验事实。
图3. 二维非互易非厄米晶格中的谱收缩与本征态偏斜的实验观测。（a）不同边界条件下晶格结构的示意图。（b）矩形几何下，不同边界条件对应的能谱比较，展示出由PBC到OBC的谱收缩与层级嵌套关系。（c）在矩形和平行四边形几何下，完整OBC谱的比较，揭示几何形状对复能谱的影响。（d）、（e）为对应几何下的左本征态分布；（f）、（g）为右本征态分布，对比可见显著的本征态偏斜和角落局域化。
亮点三：互易二维晶格中的几何驱动谱相变
在互易二维非厄米晶格中，本工作展示了一个更具高维特色的现象（图4）：几何形状本身可以驱动谱对边界条件敏感性的改变。这一类系统在跳跃项上满足互易性，但依然具有复数能谱和非平凡的谱拓扑。理论研究曾指出，在二维互易非厄米系统中，晶格的长宽比会显著影响能谱对边界条件的敏感程度，存在所谓“敏感相”和“不敏感相”。在实验中，本工作通过改变二维声学晶格在两个方向上的尺寸，从“扁长”的几何形状逐步变为“瘦高”的几何形状，相当于连续扫描长宽比。每一种几何下，分别测量全开放边界和混合边界对应的复能谱，并引入一个量化指标来描述两种边界条件下能谱之间的偏移程度。结果显示，当长宽比较小时，能谱对边界条件非常敏感，两种边界设置下的复能谱差别明显；随着长宽比增加，这种差异逐渐减小，在某一临界几何附近发生明显的“断崖式”下降，之后进入一个能谱对边界条件基本不敏感的区域。这一现象可以理解为：在某些几何下，边界的微小变化足以重排复能谱的整体结构，而在另一些几何下，能谱更多地反映体性质，对边界的具体细节相对迟钝。实验的相图与理论分析高度吻合，构成了对二维互易非厄米晶格中“谱敏感性相变”的首次系统实验验证，也凸显了高维非厄米系统中几何自由度的特殊作用。
图4. 二维互易非厄米晶格中的谱敏感性相变的实验观测。（a）晶格结构示意图。（b）谱敏感性相图，展示长宽比变化时对边界条件的敏感与不敏感区域。（c）谱位移量的实验结果（红色圆点）与理论结果（蓝色圆点）随长宽比的变化，插图给出了谱位移量的定义：衡量全OBC谱与混合边界（x-OBC、y-PBC）谱之间的偏移。绿色和红色阴影区域分别表示混合边界与全OBC下的能谱范围。（d）三个代表性长宽比（A、B、C）的能谱比较：上排为实验测量，下排为紧束缚模型预测，灰色区域对应全PBC下的能谱。
与传统依赖实频激发或复频扫描的手段相比，本工作中的格林函数方案具有几方面显著优势：（1）统一获取复能谱与本征态：一组测量同时给出复数本征值和左右本征态，无需在不同频段或不同激励方式之间来回切换。（2）适用于任意维度与几何：方法只依赖于格林函数的测量，与晶格维度、边界条件和几何形状无关，可直接推广到更高维、非平凡几何乃至有缺陷的晶格。（3）可迁移到其他波动平台：只要平台允许两点间响应的幅度和相位测量，如光子晶体、机械/弹性波系统、微波系统等，都可以复制这套思路；在合适条件下，也可为某些量子模拟平台提供谱测量方案。
未来，这一框架有望被用于：系统探索更复杂的谱拓扑结构与点隙拓扑相；定量研究内层皮肤效应、临界皮肤效应等目前难以实验观测的现象；在有缺陷、位错、畸变几何等更复杂情形下，连接几何拓扑与非厄米皮肤效应的行为。
论文信息：J.-X. Zhong, J. Kim, K. Chen, J. Lu, K. Ding, and Y. Jing, Experimentally probing non-Hermitian spectral transition and eigenstate skewness, Phys. Rev. B 112, L220301 (2025).
原文链接：
https://link.aps.org/doi/10.1103/xxp9-ng7c
撰稿|课题组
