撰稿|由课题组供稿
如何进一步丰富经典波动系统中的拓扑相并揭示相应的拓扑相变机制是目前领域内的研究热点。近日，广西师范大学王海啸课题组在研究具有C3对称性晶格光子晶体时，发现只需改变单个几何参数便可触发多个高阶拓扑相变。不同的高阶拓扑相可通过两种不同的方式表征：（1）原胞Wannier中心的位置；（2）高对称点C3对称性的本征值。通过对几何参数的连续调节，还可实现对高阶拓扑角态和边界态的调控。最后，研究人员还讨论具有C3对称性下不同光子晶体的角态分数电荷与高阶拓扑相的关系。该工作进一步丰富了光子系统中高阶拓扑相及其相变的机制。相关成果以‘Higher-order topological phases in tunable C3-symmetric photonic crystals’为题于2021年8月31日发表在《Photonics Research》上，并被编辑标记为Editor’s Pick。广西师范大学王海啸博士与苏州大学蒋建华教授为本文的通讯作者，硕士生梁力为本文的共同第一作者。
近年来，以高阶拓扑绝缘体为代表的高阶拓扑相的研究引起了越来越多的关注。以二维高阶拓扑绝缘体为例，其二维体态是绝缘态，一维边界态是金属态，在零维边界上存在受拓扑保护的局域态。目前，典型的高阶拓扑绝缘体包括偶极子拓绝缘体、四极子拓扑绝缘体、八极子高阶拓扑绝缘体等；其中，以breathing kagome晶格为代表的具有特殊对称性的晶格在研究高阶拓扑绝缘体过程中受到人们的广泛关注。通常，人们采用量子体极化（Wannier心位置）来表征breathing kagome晶格中的不同拓扑相，其研究大多也仅限于拓扑平庸与拓扑非平庸之间的相变。然而，在这种具有特殊对称性的晶格中是否存在更多的高阶拓扑相？不同高阶拓扑相的相变机制为何？这些问题仍然值得深入研究。
本文的研究对象为具有C3对称性的二维光子晶体，其中包括了三角晶格与kagome晶格光子晶体。研究人员发现通过定义一个几何参数，可以实现三角晶格与kagome晶格之间的相互演化。特别地，对于相同晶格的光子晶体，其原胞构型不同，则对应的高阶拓扑相也不同。为此，研究人员通过两种方法来定义出三种拓扑相：（1）计算相应原胞的Wannier 中心位置；（2）计算C3对称性本征值。进一步，利用几何参数的变化可实现对高阶拓扑角态的调控，结果表明：（1）高阶拓扑角态只存在于由两种高阶拓扑不同光子晶体形成的超原胞中；（2）高阶拓扑角态的成因可由紧束缚理论完美解释。值得注意的是，由于系统中可存在三种不同的拓扑相，角态的出现方式也更为丰富，可为后续角态的调控及应用提供理论支持。作为理论扩展，文章最后还讨论具有C3对称性下不同光子晶体的角态分数电荷与高阶拓扑相的关系。
图1满足C3对称性的不同二维光子晶体间随几何参数d的相互演化，其中原胞晶格常数为a，每个原胞包含三个介质柱（半径r=0.1a、介电常数ϵ=15），介质柱距离中心为d。通过调整几何参数d，在保持C3对称性的同时可以产生各种不同的构型，包括：(a) triangular I (d=0 ∕d=3l) , (b) kagome I (d=0.5l) , (c) triangular II (d=l), (d) kagome II (d=1.5l), (e) triangular III (d = 2l), 和 (f) kagome III (d= 2.5l)。 (g) 具有C3对称性光子晶体原胞可能的Wannier中心位置。
图2 具有C3对称性的二维光子晶体的能带结构。(a) d =0,l,2l (对应triangular I, II, III)，(b) d = 0.5l,1.5l,2.5l (对应 kagome I, II, III)，和 (c) d=0.25l,1.25l,2.25l (对应breathing kagome)。 (d)第一和第二光子能带在K点处的本征频率。不同拓扑的带隙（不同的颜色区域），可由拓扑指标χ及相应Wannier中心位置表征。插图给出了不同几何参数d时，第一光子能带在K点处本征态的相位分布。
图3 (a)由两种类型光子晶体组成的的三角形超原胞的示意图，其中外部光子晶体的几何参数d=0.25l（对应的拓扑指标为χ=[0,0]），内部的光子晶体的拓扑性质可随d改变而改变。示意图中给出了四种典型的情况。(b)对应超原胞的本征频率与几何参数d的关系，其中灰色区域表示体态，绿色区域表示边缘态，红色和紫色曲线分别表示I类和II类角态。(c)不同d情况下角态和边界态的电场分布。在计算中，超原胞外部结构的边长为10a，内部结构的边长为4a。
图4 (a)由两种类型光子晶体组成的的三角形超原胞的示意图，其中内部光子晶体的几何参数d=0.25l（对应的拓扑指标为χ=[0,0]），外部光子晶体的高阶拓扑性质可随d的改变而改变，示意图中给出了四种典型的情况。(b)对应超原胞的本征频率与几何参数d的关系，其中灰色区域表示体态，绿色区域表示边缘态，红色和紫色曲线分别表示I类和II类角态。(c)不同d情况下角态和边界态的电场分布。
图5 (a)由两种类型光子晶体组成的的三角形超原胞的示意图，其中内部光子晶体的几何参数为d（对应的拓扑指标为χ=[0,0]或[-1,1]或[-1,0]），外部光子晶体的几何参数3l-d（对应的拓扑指标为χ=[0,0]或[-1,0]或[-1,1]），示意图中给出了四种典型的情况。(b)对应超原胞的本征频率与几何参数d的关系，其中灰色区域表示体态，绿色区域表示边缘态，红色和紫色曲线分别表示I类和II类角态。(c)不同几何参数d情况下角态和边界态的电场分布。
图6 具有完美导体边界条件的三角形超原胞中的分数“电荷”。图中只显示了体原胞和角原胞的电荷分布，如浅蓝色区域所示，其中“电荷”是通过只包括拓扑带隙以下体态的贡献来计算。考虑以下四种情况：(a) d=0.25l, (b) d=0.75l, (c) d=2.75l, (d) d=2.25l.
本文证明了在具有C3对称性光子晶体中，通过调节单个几何参数可以获得丰富的高阶拓扑相和多个相变。这些高阶拓扑相产生了有趣的多维拓扑现象，其中角态和边界态可以通过多种方式进行调节。本文研究表明，连续可调的全介质光子晶体可用来实现具有可调的边界态及角态的拓扑光子电路。同时，理论计算得到的角态分数电荷也了揭示相应拓扑能带的基本性质。
https://doi.org/10.1364/PRJ.433188
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