Science Bulletin：声学超材料中的分形高阶拓扑态

撰稿|由课题组供稿

近日，湖南大学夏百战教授课题组联合长沙大学满先锋博士和苏州大学蒋建华教授课题组在高阶拓扑相的研究方面取得重要进展。他们基于二维Su–Schrieffer–Heeger模型设计了一种谢尔宾斯基地毯分形声学超材料，首次在实验上实现了分数维度结构中的声学高阶拓扑态。相关研究成果以“Observation of fractal higher-order topological states in acoustic metamaterials”为题在线发表在《Science Bulletin》，并入选了2022年第67卷第20期封面文章。湖南大学的郑圣洁博士，长沙大学的满先锋博士，苏州大学的孔泽霖博士和林志康博士为论文的共同第一作者，湖南大学的段桂菊博士、陈宁副教授和于德介教授参与了部分工作，苏州大学的蒋建华教授和湖南大学的夏百战教授为论文的共同通讯作者。该项论文工作受到了国家自然科学基金，江苏省高等学校重点学科建设专项资金和湖南省自然科学基金的资助。

物质的拓扑相能够很好地反映固体动量空间中布洛赫能带的几何学性质，在凝聚态物理学中受到了广泛关注。拓扑物理的研究还扩展到了光子系统、声子系统等经典波系统。这些系统通常处于宏观尺度，它们在设计、制备及实验测量上的优势有利于研究新的拓扑相（如Floquet拓扑相、高阶拓扑相和脆拓扑相）和新的拓扑现象（如体-缺陷对应）及其相关应用。然而，到目前为止，大多数的研究只关注整数维度的系统，非整数维度中的拓扑物态研究仍处于起步探索阶段。

分形是一类具有非整数维度的有趣且复杂的几何图形，其最大的特性是在不同的尺度上具有自相似性。分形几何与拓扑相之间相互作用的研究仍处于初期阶段。尽管有研究学者已经在理论上预测了分形几何中许多迷人的拓扑现象，并在分形晶格中实验证明了光子Floquet拓扑绝缘体。但经典波系统中的分形高阶拓扑态尚未被实验证实。

本文基于谢尔宾斯基地毯结构和二维Su–Schrieffer–Heeger模型, 设计出一种具有分数维度的分形声学超材料, 并证明了其具有分形特征的高阶拓扑态。同时由于该声学超材料的分形几何特性, 其具有丰富的拓扑边缘态和拓扑角态。有趣的是, 作者发现体态、边缘态和内角态的数量与该声学系统的自相似迭代次数成指数关系, 且它们的豪斯多夫维数与系统的豪斯多夫维数相同。分数维数直接表现为物理量，是物理学中一种非常罕见的物理现象。此外, 通过数值仿真和实验验证，作者揭示了该分形声学超材料的拓扑角态具有新奇的频谱特征和丰富的模态振型。本工作将有助于启发未来对非欧几何中拓扑现象的研究。

图1 谢尔宾斯基分形高阶拓扑态 (a) 基于二维SSH模型的二阶谢尔宾斯基分形紧束缚系统 (b) 二阶谢尔宾斯基分形紧束缚系统的本征能谱

图2 当耦合强度t₁=0时，谢尔宾斯基分形紧束缚系统的基本结构单元及其本征态 (a) 单聚体位于外角上。每个单聚体支持一个零能量外角态。(b)双聚体位于内边缘和外边缘上。每个双聚体支持一个成键边缘态和一个反键边缘态。(c) 三聚体位于内角上。每个三聚体支持三个内角态，它们分别表现为负能量（第一类）、零能量（第二类）和正能量（第三类）。(d) 四聚体位于体内。每个四聚体支持一个负能量体态，一个正能量体态和两个零能量体态。

图3 谢尔宾斯基分形拓扑态的实验观察 (a) 声学超材料原胞结构 (b) 全波数值仿真得到的二阶谢尔宾斯基分形声学超材料的本征频率 (c) 3D打印制备的分形声学超材料实验模型 (d) 实验得到的体态(灰色)、边缘态(棕色)、外角态(绿色)和内角态(蓝色和紫色)的频谱图 (e) 实验测量得到的频谱图中峰值对应频率下的外角态（绿色方框）、第二类内角态（蓝色方框）、边缘态（棕色方框）、第三类内角态（紫色方框）和体态（灰色方框）的声压场分布。

图4 外角态和三类内角态的局部声压场分布图及其相位测量

补充说明：浙江大学杨兆举教授研究团队提出了基于四极子拓扑绝缘体的分形高阶拓扑态的实验研究（与本文研究的偶极子高阶拓扑态不同），并与本项工作同时发表在《Science Bulletin》，一起入选了同期的封面文章。

文章链接：

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2095927322004273#m0005