在过去，高阶拓扑态只出现在单个带隙之中，频率比较单一，不利于角态的多频选择性。在这项研究中，研究团队将角态扩展到低频和高频带隙中，丰富了高阶拓扑态在多频调节系统中的应用。在实验上，一个几何角上可以收集到三种不同频率的声波，从而实现低频和高频的能量收集。研究团队设计了具有Y形的散射体的声子晶体并且研究了其色散。图一是在不旋转散射体和旋转散射体的情况下，在第一布里渊区的高对称K (K’)点出现了低频和高频Dirac点，从而形成谷声子晶体；随后，进一步打破晶格对称性，即旋转散射体，使得两个Dirac点同时打开成两个完全带隙。带隙1为Bragg带隙，带隙2为共振型带隙。在散射体具有相同旋转角度的情况下，带隙1和带隙2同时发生了带反转，这可以通过Berry曲率来表征。
图1（a）谷声子晶体的示意图。（b）θ=0°（黑色实曲线）和θ=30°（彩色虚曲线）的色散关系。（c）左（右）侧：VSC-B（VSC-A）的Berry相V1作为K2的函数。红色圆和橙色圆是对应的Wannier中心。（d）在K点随着θ从-60°到60°的相变图。（e）和（f）分别是带隙1和带隙2的本征态和相位分布。
下一步，研究团队将不同相构成三角形超元胞（图2a）并且计算了超元胞的特征谱（图2b）。在特征谱中，边界态和角态I（声压集中在三角形超胞顶点区域）出现在带隙1中。然而，在带隙2中出现了两种类型的角态：一种是角态I，另一种是角态II（声压沿着三角形的两侧分布）。根据角态的谷选择性机制，Wannier中心恰好终止于几何角，几何角位置可能会出现角态。两种不同Hall相的体极化分别为1/3和-1/3，而Wannier中心与体极化相关。一般情况，由于最近邻耦合，角态I的声压分布总是局域在几何角上；然而，可能出现的相邻边缘态之间的长程耦合导致角态II的声压沿着几何角的两侧分布。
图2（a）三角形超胞示意图，左边、上边和右边插图分别显示对应于VSC-B和VSC-A的Wannier中心位置（红色和橙色的圆圈）。（b）计算了（a）中三角形超胞的特征谱。在特征谱中，带隙1中的三重简并角态用红园点表示，带隙2中的三重简并角态用红色菱形和绿色菱形表示。（c）边缘态的声压场分布。（d）带隙1中的角态I的声压场分布。（e）分别为带隙2中的角态I和II的声压场分布。
为了实验验证在双频带中角态的存在，通过3D打印技术，制造了图3a左侧所示的实验样品。在实验上，并探测到了带隙1中的角态I和带隙2中的角态I、II的信号（图3b）。同时在实验中设计缺陷，对带隙1和带隙2中的高阶拓扑态进行高阶拓扑态稳健性的实验验证。（图3c和图3d）。
图3（a）由光敏树脂制成的谷声子晶体的样品照片（左）和验证高阶拓扑态稳健性时，缺陷的位置示意图（右）。（b）体态、边界态和角态的声音信号。（c）和（d)不同类型的缺陷分别对带隙1和2中角态的影响。
最后，研究团队设计了三种元胞，预测了双带隙情况下，两类角态的生存范围。（1）内部散射体和外部散射体的旋转角度值相同但是方向相反；（图4a）（2）在内部散射体的旋转角度固定为30°的前提下，外部散射体从-30°变化到0°；（图4b）（3）在外部散射体的旋转角度固定为-30°的前提下，内部散射体从0°变化到30°。（图4c）黑色线条、蓝色线条、红色线条和绿色线条分别表示体态、边缘态、角态I和角态II。
图4 (a)在内部旋转角等于外部旋转角的情况下，带隙1和2中的角态I和II随着θ的演化。带隙1中的体态（黑色）、边缘态（蓝色）、角态I（红色）以及带隙2中的角态I（红色）和II（绿色）分别用黑点、蓝星、红点、红菱形和绿菱形标记。(b)在内部旋转角为30°的情况下，带隙1和2中的角态I和II随着θ的演化。(c)在外部旋转角为-30°的情况下，带隙1和2中的角态I和II随着θ的演化。
