撰稿|由课题组供稿
非阿贝尔光学正在迅速崛起，成为一个备受瞩目的研究领域。这一领域有望从根本上改变人们对光与物质相互作用的理解，为拓扑光子器件、量子计算、光学传感和通信等领域带来新的应用前景。本文旨在为光学非阿贝尔规范场的快速发展提供全面的综述框架，包括非阿贝尔光学的基本概念、非阿贝尔统计的物理机制、光学中的非阿贝尔规范场，以及非阿贝尔编织作为非阿贝尔规范场的独特现象的探讨，和当前光学非阿贝尔规范场所面临的挑战和机遇。本综述为非阿贝尔规范场光学提供了新的视角，全面总结光学中的非阿贝尔规范场和非阿贝尔编织的研究基础、现状和进展，并展望未来的发展方向，为科学研究和技术创新提供新的可能性。
非阿贝尔物理学是物理学的一个分支，研究具有非阿贝尔内部对称性的粒子的性质和相互作用。非阿贝尔的概念来自于非阿贝尔群，是群论的一类，它与量子力学密切相关。满足非阿贝尔统计量的粒子一般可用于实现容错量子计算机，已成为凝聚态物理中最重要的研究领域之一。近年来，随着量子光学的快速发展，研究人员在实验中尝试使用集成光量子芯片进行量子计算和统计，并取得了一些成功。非阿贝尔光学不仅为经典光学的基础研究提供了一个新的平台，而且为下一代光量子器件的实现铺平了道路。
在经典物理学中，对称变换是保持系统不变的变换。例如，球体的旋转使球体保持不变，因此这种旋转表示球体的对称性。在量子力学中，系统的对称性是用酉算子来描述的，酉算子在不改变粒子概率密度的情况下变换粒子的波函数。在阿贝尔物理中，内部对称性具有交换性，这意味着对称变换顺序对体系无关紧要。然而，在非阿贝尔物理中，内部对称性不具有交换性，这意味着对称性变换的顺序将会影响系统最终状态。非阿贝尔物理的一个基本特征是规范不变性，要求物理量在内部对称性的局部变换下保持不变，这种局部对称需要引入规范场。非阿贝尔规范场在凝聚态物理到光学领域中，已经有许多不同的研究方法。此外，作为非阿贝尔规范场的特殊情况——非阿贝尔编织，也已经被证明了其拓扑特征，并提出用于量子模拟和量子计算。这些编织操作具有很大的发展潜力，凝聚态物理学家们已经做了大量的努力来实现量子系统中的这种编织。值得注意的是，编织操作中，任意子，一种既不是费米子也不是玻色子的粒子，可以利用它们的动态环绕，某些编织可以在相当复杂的系统中实现，包括玻色-爱因斯坦凝聚、冷原子光学晶格和分数量子霍尔系统，但这些系统的实验探索目前仍面临很大挑战。类似地，在凝聚态系统中也存在这种困境。迄今为止，研究人员已经成功实现了声学模式的经典非阿贝尔编织、光子拓扑零模编织、二维光子编织与涡旋等现象。其他有关非阿贝尔光学的研究领域，包括非阿贝尔力学、自旋轨道相互作用、非阿贝尔Thouless泵浦及非线性光学等，仍有相当大的发展潜力。
光学中的非阿贝尔规范场，以及一系列与模态动态演化相关的现象，如编织，为实现量子逻辑门提供了可能路径。近年来，人们提出了一些在经典系统中实现非阿贝尔物理的新思想。经典系统中多模几何相位效应的机制类似于凝聚态系统，从而说明了在例如声学和光学等领域中，经典方案的非阿贝尔实现的可行性。受到这一可行性的鼓舞，科学家们通过分析预测和实验实现了光子学中的几种非阿贝尔现象，包括非阿贝尔规范场的合成和观测，非阿贝尔拓扑荷与边界态的观测，以及光子系统中马约拉纳零模编织的模拟。最近的一些研究进一步实现了光子系统中的多态排列，与典型的编织和泵浦过程对应。这些工作为研究非阿贝尔光学开辟了一条新途径，并可能因此在未来激发许多非阿贝尔光子的应用，例如片上器件、量子计算机等。此外，非阿贝尔编织已经在拓扑量子计算的背景下得到了广泛的研究，例如用于实现具有鲁棒性的拓扑量子门，可避免量子退相干和计算误差。目前，光子晶体和波导等具有非阿贝尔特性的光子结构已经成功实现了非阿贝尔编织操作，这预示着新一代操纵光和波的工具集的诞生。
光学中非阿贝尔规范场：
源于对电磁学规范不变性深入理解的概念，非阿贝尔规范场已通过量子力学的发展和杨-米尔斯理论的创立，成为描述基本粒子相互作用的核心理论。在现代物理学，尤其是粒子物理学和量子场论领域，非阿贝尔规范场发挥着至关重要的作用。近年来，这一领域在冷原子、声学、光学及电学等多个物理学分支中得到了广泛研究。作者主要综述了聚焦于非阿贝尔规范场在光学系统中的实现。
光学系统中非阿贝尔规范场的产生，关键在于系统量子态的简并。当考虑赝自旋自由度时，只要介质满足特定的电磁对偶条件，光在介质中的传播可以视为受到SU(2)规范势的作用如Table1所示，通过特定的方法可以在介质中合成非阿贝尔规范电场和磁场。相较于阿贝尔规范场，非阿贝尔规范场由于其成分的不对易性，在恒定规范势下也能产生电场和磁场，导致光在介质中传播时产生Zitterbewegung现象，如图1所示。
图1 ：超构材料中合成的非阿贝尔规范场。
最近的一些进展还涵盖了与非阿贝尔规范场直接相关的非阿贝尔A-B效应。由于非阿贝尔规范场的不对易性，量子态在系统中不同路径的演化次序会导致不同的赝自旋态。例如，在光纤系统中利用法拉第效应和相位调制器合成非阿贝尔规范场，将光的极化作为赝自旋自由度。因非阿贝尔规范场的存在，两束沿顺时针和逆时针方向传播的光在探测器上呈现不同的极化状态，从而产生干涉现象（图2）。进一步地，确定了非阿贝尔规范场存在的充分必要条件是两个Wilson loop算符不对易。
图2： 光纤中非阿贝尔规范场的合成与非阿贝尔AB效应的实验示意图。
针对非阿贝尔规范场在实空间的合成，通过设计周期势场，很自然的也可以将非阿贝尔规范场引入晶格系统。但是光学系统的自由度受到几何空间尺度的限制，通过构造合成维度，可以突破其几何尺寸的限制。例如，把光子偏振作为自由度，通过极化旋转和调制器合成了SU(2)规范场，如图3所示，在非阿贝尔规范场的作用下，观察到的能谱与传统的Hofstadter 蝴蝶图案表现出明显不同。
图3： 晶格中阿贝尔和非阿贝尔规范场下的能谱。
通过探讨非阿贝尔在不同的光学系统中的实现，解释了这一领域在现代科学中的巨大潜力和重要性。非阿贝尔规范场的研究不仅为理解和操纵光的行为提供了新的视角，也为其他相关领域，如凝聚态物理学、量子物理学，提供了宝贵的洞见。
光学中非阿贝尔编织：
编织是一种常见的方法，例如，头发可以通过编成辫子来组织，织物通过交换位置编织成布，干草或竹子编织成篮子和其他物品。令人惊讶的是，尽管编织无处不在，但它是一个严格数学的主题，并在物理学中有着深远的影响。编织不仅与几何对象有关，如结、链和曲面，而且还与更复杂的概念有关，如各种非平凡代数及其线性组合和量子逻辑。最近，编织技术已经成功应用于光学和微波领域，这预示着新一代的光波操作工具集的出现。在综述中，作者阐述了编织的数学基础，讨论了它的非阿贝尔特性，并介绍了光子非阿贝尔编织的最新进展。
编织是连续交换有限数股的过程。这个简单的描述已经表明编织与置换有关，因此它可以在数学上用群来描述。编织群的概念是Adolf Hurwitz在19世纪晚期首次提出的，后在20世纪20年代，Emil Artin明确解释了这一概念，并使用Bn群表示第n个编织群，对欧式三维空间中n根弦的交织进行拓扑建模。在过去的一个世纪里，编织群被数学家和拓扑学家广泛地研究，Vaughan Jones对代数算子的研究发现了编织群的新表示形式，并在20世纪80年代推导出了相应的结链多项式。随后Patrick Dehornoy和Stephen Bigelow、Daan Krammer分别在90年代初和21世纪初证明了编织群的有序性和线性。图4展示了不同编织群及编织操作。
图4 ：不同编织群及编织操作示意图。
目前非阿贝尔编织大多基于拓扑SSH模型，包括利用拓扑边界态和二维SSH构型下产生的角态来进行编织操作。通常情况下，量子系统编织的马约拉纳(Majorana)Y结的方案，可以用于实现经典系统中的基于SSH模型的编织，在经典系统中也可以观察到拓扑保护和非阿贝尔的特性。需要注意的是，马约拉纳Y结的缺位交换提供了π/2的单量子旋转，而SSH模型的Y结操作对应于哈密顿量的二维简并子空间中的π旋转，即可以映射到量子逻辑中的Y门，如图5所示。
图5 ：基于SSH模型的 Y结编织操作示意图。
为了说明光子中阿贝尔和非阿贝尔编织的实现，图6展示了四个耦合光波导的编织过程。此外，作者还分别介绍了非阿贝尔Thouless泵浦，Y型结中拓扑模式的编织以及具有涡旋拓扑模式的非阿贝尔编织，如图7所示。
图6： 光子中非阿贝尔编织的实现过程。
图7 ： 六边形光子晶格中拓扑涡旋模式的编织。
非阿贝尔规范场光学不仅具有丰富的物理性质，而且在量子计算、通信、计量、仿真和光学器件方面有着令人期待的潜在应用。该技术对经典光学和光子学领域都有影响，非阿贝尔规范场的操纵和编织操作可用于控制光子结构中的光传播和色散，在光通信、成像和传感等领域具有广泛的应用基础。此外，对光子系统中非阿贝尔对称性和拓扑结构的研究可以激发新的光学现象和独特光学性质的材料的发现。进一步，控制和操纵非阿贝尔光学系统的实验技术发展，包括在光学晶格中使用冷原子、超导量子比特和人工规范场等，为探索非阿贝尔光学的潜在应用开辟了新的途径。随着这些技术的不断发展，未来将会看到越来越多令人兴奋的非阿贝尔光学应用。
北京大学博雅博士后闫秋辰、北京理工大学博士生王志浩、香港浸会大学博士后王冬逸为论文的共同第一作者，北京大学胡小永教授、北京理工大学路翠翠教授、香港浸会大学马冠聪教授为论文的共同通讯作者。
论文信息：
Qiuchen Yan,† Zhihao Wang,† Dongyi Wang,† Rui Ma, Cuicui Lu,* Guancong Ma,* Xiaoyong Hu,* and Qihuang Gong, “Non-Abelian gauge field in optics”, Advances in Optics and Photonics, 15, 907 (2023).
https://opg.optica.org/aop/abstract.cfm?uri=aop-15-4-907
