Phys. Rev. Res. | 具有任意陈矢量的三维声学陈绝缘体

众所周知，二维陈绝缘体具有单向传输的手性拓扑边界态，其边界态的模式数由拓扑不变量陈数的大小|C|  决定，而传播方向取决于陈数的符号sgn (C)  ，如图1(a)所示。与此类似，若扩展到三维空间，三维陈绝缘体在其表面上将支持单向传输的表面拓扑态，且拓扑不变量由标量陈数推广为一矢量C=(c₁,c₂,c₃) 。相关研究表明，三维陈绝缘体的拓扑表面态会在表面布里渊区内形成独特的环面纽结（Torus knot）或链环（Torus link），这是由拓扑不变量的矢量特性所决定的。然而，此前关于三维拓扑绝缘体的研究还都局限于仅含一个非零陈矢量分量的情况，这使得手性表面态只能局限在三维晶格结构的侧面传播，同时表面态的等频线在布里渊区上所形成的闭合曲线（费米环）也只沿布里渊区环面的一个方向缠绕整圈数，如图1(b)所示。为此，若想构造沿布里渊区两个方向都环绕一圈的环面纽结或链环，此前的研究需要拼接两块不同的陈绝缘体，它们的陈矢量（均只有一个分量非零）指向相互垂直，以在晶体交界面上陈矢量之差具有多个非零矢量。然而，如何在单一三维晶体中实现具有多个非零分量的陈矢量仍然不明，因此三维陈绝缘体完整的体边对应关系还尚待进一步加以揭示。

从另一方面来讲，研究者将陈绝缘体的概念引入到声子晶体中，发展出了所谓的声学陈绝缘体。声学陈绝缘体的手性边界态对结构缺陷和无序可能引发的背向散射完全免疫，因而在声波的鲁棒性操控方面具有广阔的应用前景，由此引发了学界对拓扑声学领域的广泛研究。虽然目前已有大量关于拓扑声学的研究成果，但声学陈绝缘体的研究目前尚局限于二维体系。

本研究将陈矢量的概念引入到声子晶体中，并提出一个构建三维声学陈绝缘体的途径。具体而言，所提声学三维陈绝缘体的陈矢量C=(c₁,c₂,c₃) 具有多个非零非零分量[如图1(c)]，拓扑表面态在三维晶体所有的表面上均可单向传播，而且在这样单一三维晶体的表面布里渊区上即可实现非平庸的环面纽结或链环，无需两个不同晶体的拼接。此外，手性拓扑表面声波在三维陈绝缘体的相邻表面之间还形成了一系列无背散射的负折射现象，这与现有文献所报道的拓扑负折射具有完全不同的机理。

图1. 具有不同拓扑不变量的二维（三维）陈绝缘体手性边界态（表面态）的拓扑特性示意图。(a) 具有非零陈数C的二维陈绝缘体及其手性边界态；(b) 仅含1个非零陈矢量分量【C=(0,0,c₃)】的三维陈绝缘体及其侧面上传输的手性表面态；(c) 具有多个非零分量陈矢量【C=(c₁,c₂,c₃)】的三维陈绝缘体，其所有表面上都支持手性表面态。

陈矢量为C=(0,0,1) 的三维声学陈绝缘体

实现声学三维声学陈绝缘体最简单的方式是将二维陈绝缘体沿面外方向进行层叠堆垛。因此我们首先基于著名的Haldane紧束缚模型[图2(a)，左]构造对应的声学腔结构[图2(a)，右]，并引入环形气流来打破系统的时间反演对称性(Time reversal symmetry, TRS)。然后将此二维结构沿z 方向层叠堆垛[图2(b-c)]，除了垂直方向的耦合t_a,b 之外，我们还引入了（可选的）手性层间耦合t_c 以便于调节体能带中外尔点的形态，方便进一步以较小的TRS破缺程度即可打开完全体带隙。图2(d)则是环形气流流速在v=6m/s  下所设计三维陈绝缘体的体能带计算结果，浅红色区域则为带隙范围，通过Wilson Loop方法计算可知该带隙的陈矢量为C=(0,0,1) 。由于陈矢量仅有一个分量  c₃非零，其无能隙的手性拓扑表面态只存在于四个侧面上（可以类比于将二维陈绝缘体的边界态也沿z 方向拉伸而成）。以 侧面为例，在  y 方向选取20个单胞，x,z 方向均一个单胞，并在x,z 两方向施加周期边界条件，计算所得表面色散如图2(e)所示。可见拓扑表面态（蓝色区域）贯通整个体带隙、且其群速度整体均朝向负方向。从k 空间上而言，表面态的费米环——即等频线（如带隙中心频率处，红色曲线）在表面布里渊区环面上表现为一闭合曲线。但由于陈矢量仅含一个非零分量，因此费米环在布里渊环面上只沿一个方向环绕整圈数，也称为环面纽结 (Torus-knot)。在时空间上，陈矢量 C=(0,0,1)意味着拓扑表面态在三维晶体结构的侧表面上是单向传播的，但在上下表面无法传输，这与图2(f)的仿真计算结果相一致。

图2. 陈矢量为C=(0,0,1)的三维声学陈绝缘体。(a) 二维Haldane模型及其对应的声学结构，以及(b)其三维拓展；红色和蓝色箭头分别代表环形气流的方向；(c) 所构造的三维声学陈绝缘体示意图。(d) 体能带；(e) 表面色散及其等频线在布里渊区上的表示；(f) 体带隙中心频率处激发的声波波场分布的仿真结果。

陈矢量为C=(-1,-1,1)的三维声学陈绝缘体

前述三维陈绝缘体的陈矢量只有一个非零分量，因此手性拓扑表面态仅局限在部分表面传播。本节，我们将环形气流所在平面倾斜放置[图3(a-c)]，紧束缚模型分析和有限元数值计算均表明，由此设计的三维陈绝缘体的陈矢量所有分量都非零。图3(d)表示的仍然是因环形气流打破TRS后系统体能带中打开了完全带隙，Wilson Loop计算表明该带隙的陈矢量为C=(-1,-1,1)。由于陈矢量所有分量均不为零，我们可以看到在三维陈绝缘体三个方向的表面均支持无能隙的手性拓扑态，如图3(e-g)所示。此外，费米环（表面态色散等频线）在表面布里渊区上形成的纽结沿环面的两个方向都缠绕整数周，且环绕方向可以由相应陈矢量分量的符号确定。以 表面为例，晶体表面在方向截断，在方向均保持周期性，因此形成的是T(-1,1) [或等效于T(1,-1) ]环面纽结，即在k₂方向缠绕-1圈，在k₃方向缠绕+1圈，这与  相对应。拓扑表面态在实空间的传播特性也可由陈矢量所确定，由于陈矢量所有分量全不为零，因此拓扑表面态在所有表面上均可传播，且是单方向的[图3(h)]。事实上，三维陈绝缘体手性表面态群速度的方向可由表面法向量n和陈矢量C的叉积n×C近似给出，具体描述可详见论文。

图3. 陈矢量为C=(-1,-1,1)的三维声学陈绝缘体。(a) 倾斜三维Haldane模型及(b)其对应的声学结构；(c) 三维结构示意图；(d) 体能带；(e)-(g)在左、前、上三个表面上的手性表面态色散，以及相应的费米环在布里渊区环面上的缠绕方式；(h) 体带隙中心频率处激发的声波波场分布的仿真结果。

具有任意陈矢量的三维陈绝缘体

最后，我们在 C=(-1,-1,1)的基础上还可以进一步构建具有任意陈矢量[如C=(-N₁, -N₂,N₃） ]的三维陈绝缘体。具体实施方法是选取一个N₁×N₂×N₃ 的超胞，并使超胞与超胞之间的耦合项在原有强度基础上进行一个比例因子的缩放，使得选取的超胞为新结构的最小单元。图4(a)展示的是2×3×6大小的实例，通过Wilson Loop计算可知其陈矢量为C=(-2,-3,6)，与前述预示的结果一致。此陈矢量的每个分量绝对值都大于1，因此其表面态色散呈现出多模态的特点，如图4(b-d)所示。虽然表面态色散看似复杂，但与前述情况相同，费米环（等频线）在布里渊区环面上缠绕的特性仍与陈矢量紧密相关。仍以表面为例，费米环的缠绕特性与c₂，c₃相关，由于有最大公约数3，它们不是互质数，根据纽结理论，费米环在布里渊区环面上形成的由3条独立的闭合曲线所构成的链环，其中每条闭合曲线在环面上沿k₂方向缠-1圈，在k₃方向缠绕+2圈，这与图4(b)下方计算结果（分别以红蓝绿颜色标注）一致。同理，在表面上，由于，因此形成的链环包含两条闭合曲线（以红绿标注），每条曲线沿k₁方向缠绕-1圈，在k₃ 方向缠绕+3圈；而在（001） 表面上，是互质的，因此费米环由一条闭合曲线构成的纽结，沿k₁ 方向缠绕 2圈，在k₂ 方向缠绕+3圈。

此外，构造大陈数除了选取超胞这种方法以外，还可以通过引入长程耦合、或者将倾斜非互易hopping项跨越更多的层数来实现，具体可见论文。

图4. 具有任意陈矢量为的三维陈绝缘体。(a) 由2x3x6个单胞构成的超胞紧束缚结构，其陈矢量为C=（-2，-3,6）；(b)-(d) 在左、前、上三个表面上的手性表面态色散，以及相应的费米环在布里渊环面上的缠绕方式，费米弧在布里渊环面不同方向上的绕圈数可由陈矢量相对应。

本工作不仅首次将声学陈绝缘体从二维拓展到三维，而且将三维陈绝缘体的陈矢量由单一非零分量拓展为具有多个非零分量的任意陈矢量。任意陈矢量不仅使得三维晶体的所有外表面均支持受陈拓扑保护的手性表面态传输，而且手性表面态在k 空间上能够形成奇异的布里渊区环面纽结或链环。此外，当手性表面态经过两个相邻表面时，还呈现出独特的“手性拓扑负折射”现象。本研究揭示了陈矢量与三维陈绝缘体表面态之间体-边对应关系的完整图像，相关三维声学或光学实验应当具有重要意义。

文章链接：

https://journals.aps.org/prresearch/abstract/10.1103/qthq-fbt1

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